Dominio noetheriano con ideal primo principal único que no es un DVR

La pregunta es si tal cosa existe. Es decir, un anillo de valoración discreta (DVR), en cualquier forma que lo defina , es obviamente un dominio, noetheriano, y tiene un único elemento primo hasta asociados (es decir, hasta multiplicar con unidades). La pregunta es si hay anillos que cumplen todas estas propiedades a la vez, pero no son DVR.

Pregunta : ¿Existe un dominio noetheriano? R tal que, además ( 0 ) , hay exactamente un ideal primo principal ( pag ) en R , pero R no es un DVR?

Para aclarar, no estoy suponiendo que R tiene un único ideal primo, que pasa a ser principal. (En este caso, estaría claro que R es un DVR.) Supongo que R tiene solo un ideal no trivial que es a la vez primo y principal , mientras que podría (¡debería!) tener otros ideales primos, solo que esos no son principales.

Esto surgió de esta pregunta que generalmente pedía ejemplos de anillos conmutativos con solo un elemento primo hasta asociados. Todas las respuestas además de los DVR que se dan no son noetherianas, no son dominios o ninguna.

Por supuesto, hay mucha teoría sobre los ideales primos en los dominios de Noether, pero veo muy poco que distinga entre los ideales primos principales y no principales, que es algo de lo que parece ser necesario para esta pequeña pregunta curiosa.

Son DVR. Muestre que cualquier elemento distinto de cero en el campo de fracción puede escribirse únicamente como pag norte por algún entero norte hasta unidades y uso norte como su valoración.
@Mohan: ¿Cómo mostrar eso? Tal vez entendiste mal mi redacción, mira la aclaración adicional.

Respuestas (1)

Para C h a r ( k ) ≠ 2

R = k [ t 2 , t 3 ] ( t 2 , t 3 ) ∩ k [ t 2 , t 3 ] ( t 2 − 1 , t 3 − 1 )
no es un DVR,

tiene 3 ideales primos

{ 0 } ( t 2 , t 3 ) ( t 2 − 1 , t 3 − 1 )

  • ( t 2 , t 3 ) no es principal

  • t 3 + 1 ∈ R × entonces t 3 − 1 ∈ ( t 6 − 1 ) = ( t 2 − 1 ) ( 1 + t 2 + t 4 ) ⊂ ( t 2 − 1 ) y por lo tanto ( t 2 − 1 , t 3 − 1 ) = ( t 2 − 1 ) es director

  • Es noetheriano porque es una localización de k [ t 2 , t 3 ] que es noetheriano.

Dominio noetheriano con ideal primo principal único que no es un DVR
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