El anillo noetheriano bajo algunas condiciones tiene al menos dos ideales primos mínimos

Tenga en cuenta que para que la declaración dada sea verdadera, debemos suponer que el anillo es distinto de cero. Además, la hipótesis de Noether es superflua. Creo que la siguiente solución es mucho más simple que la sugerencia del libro.

Suponer$R$no es un dominio integral y no contiene elementos nilpotentes distintos de cero. Entonces podemos encontrar$a, b \in R - \{0\}$tal que$ab = 0$. Desde$a$no es nilpotente, podemos encontrar un ideal primo mínimo$\mathfrak p$tal que$a \not \in \mathfrak p$. Del mismo modo, podemos encontrar un ideal primo mínimo$\mathfrak q$tal que$b \not \in \mathfrak q$. No puede ser el caso que$\mathfrak p = \mathfrak q$, porque de lo contrario tendríamos$ab \in \mathfrak p$pero tampoco$a \in \mathfrak p$ni$b \in \mathfrak p$.

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Dejar$R$ser un anillo noetheriano para que pueda asumir que$(0)$tiene una descomposición primaria.

Dejar$\mathfrak{p}_1, \mathfrak{p}_2,\cdots \mathfrak{p}_n$ser los ideales primos asociados del ideal$(0)$en el anillo noetheriano$R$. Entonces

1. $\bigcap_{i=1}^n\mathfrak{p}_i$es la colección de elementos nilpotentes en$R$.
2. $\bigcup_{i=1}^n\mathfrak{p}_i$es la colección de divisores de cero en$R$.

Suponer$R$no es un dominio integral y no tiene elementos nilpotentes distintos de cero, entonces vemos que$\bigcap_{i=1}^n\mathfrak{p}_i=(0)$...

Suponer$\mathfrak{p}$es un primo mínimo asociado de$(0)$y$\mathfrak{q}$sea ​​un ideal primo mínimo en$R$tal que$\mathfrak{q}\subset\mathfrak{p}$.. Como$\mathfrak{q}$es un ideal primo,$\mathfrak{q}$debe contener algún número primo mínimo asociado, digamos$\mathfrak{l}$de$(0)$. Entonces tenemos$\mathfrak{l}\subset\mathfrak{q}\subset\mathfrak{p}$. COMO$\mathfrak{p}$y$\mathfrak{l}$son primos asociados de$(0)$y$\mathfrak{p}$es mínimo lo que deberíamos tener$\mathfrak{l}=\mathfrak{q}=\mathfrak{p}$.. De este modo$\mathfrak{p}$es un ideal primo mínimo...

Suponer$\mathfrak{p}$es un ideal primo mínimo entonces, existe un primo mínimo asociado$\mathfrak{q}$de$(0)$tal que$\mathfrak{p}\supset \mathfrak{q}$. Como$\mathfrak{q}$es un ideal primo y$\mathfrak{p}$es mínimo primo ideal que deberíamos tener$\mathfrak{p}=\mathfrak{q}$... Entonces,$\mathfrak{p}$es un primo asociado mínimo. Entonces, el ideal primo mínimo es un primo asociado mínimo de$(0)$..

Entonces, los primos mínimos son precisamente los primos mínimos asociados... Entonces,

Entonces, la intersección de todos los ideales primos mínimos es$\{0\}$y si solo hay un ideal primo mínimo, entonces ese ideal tiene que ser el ideal cero ... Como el ideal cero es el ideal primo en este$R$, el anillo tiene que ser un dominio integral que contradice la suposición... por lo tanto, existen al menos dos ideales primos mínimos...

Tenemos$\mathfrak{q}\supset (0)=\mathfrak{q}_1\cap \mathfrak{q}_2\cap\cdots\cap \mathfrak{q}_n$lo que implica$r(\mathfrak{q})\supset r(\mathfrak{q}_1)\cap r(\mathfrak{q}_2)\cap\cdots\cap r(\mathfrak{q}_n)$. Como$\mathfrak{q}$es un ideal primo que tenemos$r(\mathfrak{q})=\mathfrak{q}$... Esto significaría$\mathfrak{q}\supset r(\mathfrak{q}_1)\cap r(\mathfrak{q}_2)\cap\cdots\cap r(\mathfrak{q}_n)$.. Esto implica$\mathfrak{q}$contiene algunos$r(\mathfrak{q}_i)$para algunos$i$e incluso podemos suponer$r(\mathfrak{q}_i)$es un componente primario mínimo... Aquí he usado un resultado que "$\mathfrak{a}_1,\mathfrak{a}_2,\cdots, \mathfrak{a}_n$ser ideales de$A$y$\mathfrak{p}$es un ideal primo que contiene$\bigcap_{i=1}^n \mathfrak{a}_i$. Entonces$\mathfrak{p}\supseteq \mathfrak{a}_i$para algunos$i$".