¿Cómo probar que la sucesión es regular?

Esta definición de secuencia regular que conozco es:

Dejar R ser un anillo y dejar METRO frijol R -módulo. Una secuencia de elementos { X 1 , . . . , X norte } ∈ R se llama una sucesión regular en METRO (o un METRO - secuencia) si

  1. ( X 1 , . . . , X norte ) METRO ≠ METRO , y
  2. Para i = 1 , . . . , norte , X i es un divisor distinto de cero en METRO / ( X 1 , . . . , X i − 1 ) METRO .

mi pregunta es para demostrar que en el ring k [ X , y , z ] la secuencia X , X + y 2 , X + y + z 3 es regular

Esto no es un problema de tarea. Estoy tratando de estudiar álgebra conmutativa por mi cuenta y esta definición no me da idea de cómo comenzar este problema. ¿Puede alguien mostrarme cómo hacer este problema con algunos detalles?

Mi pregunta original me pide que demuestre que { y 1 + X 1 y 2 + X 1 2 y 3 , y 1 + X 2 y 2 + X 2 2 y 3 , y 1 + X 3 y 2 + X 3 2 y 3 } es una secuencia regular en k [ y 1 , y 2 , y 3 , X 1 , X 2 , X 3 ] (el orden es léxico)

Yendo exactamente en la forma en que @Joshua sugirió que consideré el anillo del cociente k [ y 1 , y 2 , y 3 , X 1 , X 2 , X 3 ] / ( y 1 + X 1 y 2 + X 1 2 y 3 ) . La imagen del segundo elemento que obtuve es ( X 2 − X 1 ) ( y 2 + y 3 X 2 + y 3 X 1 ) No estoy seguro de cómo proceder, ¿hay un código de computadora o algo que pueda ayudarme?

La base de Grobner de I = ⟨ F 1 , F 2 , F 3 ⟩ que tengo es:

  1. y 1 + y 2 X 3 + y 3 X 3 2

  2. − y 2 X 3 + y 2 X 1 − y 3 X 3 2 + y 3 X 1 2

  3. − y 2 X 3 + y 2 X 2 − y 3 X 3 2 + y 3 X 2 2

  4. y 3 X 1 2 X 2 − y 3 X 1 2 X 3 − y 3 X 1 X 2 2 + y 3 X 1 X 3 2 + y 3 X 2 2 X 3 − y 3 X 2 X 3 2

El orden del monomio es y 1 > y 2 > y 3 > X 1 > X 2 > X 3

¿Qué es una serie de Hilbert? ¿Cómo se calcula con la ayuda de las técnicas de Grobner? ¿Tiene acceso a algún ejemplo que pueda ayudarme con esto (tal vez algún ejemplo resuelto)? Revisé el artículo de Stanley, pero creo que necesitará una sólida formación en álgebra conmutativa. (Solo sé hasta la base de Grobner que leí de David A. Cox).

Respuestas (1)

En este caso, puede aplicar directamente la definición.

k [ X , y , z ] / ( X ) = k [ y , z ] , por supuesto, y la imagen de X + y 2 es solo y 2 , que claramente no es un divisor de cero. Próximo, k [ y , z ] / ( y 2 ) tiene k -base { 1 , z , z 2 , … , y , y z , y z 2 , … } sujeto a la relación y 2 = 0 y la imagen de X + y + z 3 es y + z 3 . Suponer y + z 3 eran un divisor de cero. Decir ( F ( z ) + y gramo ( z ) ) ( y + z 3 ) = 0 . Entonces F ( z ) z 3 + y ( F ( z ) + gramo ( z ) z 3 ) = 0 . que obliga F ( z ) z 3 = 0 y F ( z ) + gramo ( z ) z 3 = 0 . Pero eso obliga F ( z ) = 0 y luego gramo ( z ) = 0 . Entonces y + z 3 no es un divisor de cero.

Edite en respuesta a la pregunta de seguimiento en los comentarios: las secuencias de elementos homogéneos se comportan mejor con respecto a ser regulares, por ejemplo, son regulares si y solo si hay algún reordenamiento. En tu caso podrías declarar grado ⁡ y 1 = 3 , grado ⁡ y 2 = 2 , grado ⁡ y 3 = grado ⁡ X i = 1 , haciendo tus elementos F 1 , F 2 , F 3 todos homogéneos de grado 3 . Ahora puedes calcular la serie de Hilbert de k [ X 1 , X 2 , X 3 , y 1 , y 2 , y 3 ] / ( F 1 , F 2 , F 3 ) utilizando técnicas de la teoría de Grobner y comprobar si es correcto*. Esto es aparentemente lo que hace Macaulay2 .

Técnicamente, eso podría hacerse a mano simplemente usando el algoritmo de Buchberger y las reducciones manuales de polinomios S (supongo que la base de Grobner aquí será bastante pequeña), pero es muy tedioso y propenso a errores. Una vez que obtenga la base de Grobner, solo tendrá que seleccionar sus términos principales, dar una descripción explícita de los monomios estándar (aquellos que no son divisibles por ninguno de esos términos principales) y calcular la serie de Hilbert.

No me sorprendería si jugar en la línea de mi respuesta original fuera aún más rápido en este caso particular.

*¿Cuál es la serie de Hilbert correcta? Véase, por ejemplo, el Corolario 3.2 del encantador artículo de Stanley en su mayoría sobre encuestas "Hilbert Functions of Graded Algebras".

Básicamente, un polinomio mónico nunca es un divisor de cero, y y + z 3 es monic.
@ usuario26857 Claro. Dado el contexto actual, probablemente iría con la observación realmente directa de que si F ( z ) ∈ A [ z ] es un divisor de cero y el coeficiente superior es F norte , entonces F norte es un divisor de cero. Aquí A ≠ 0 , entonces 1 no es un divisor de cero.
¿Hay una manera mejor o más fácil de hacer el cálculo? Básicamente, mi pregunta original me pide que demuestre que { y 1 + X 1 y 2 + X 1 2 y 3 , y 1 + X 2 y 2 + X 2 2 y 3 , y 1 + X 3 y 2 + X 3 2 y 3 } es una secuencia regular en k [ y 1 , y 2 , y 3 , X 1 , X 2 , X 3 ] (el orden es léxico)
@ Antimony He actualizado mi respuesta. Espero un poco de dolor pase lo que pase, tal vez haya algún arreglo agradable que lo mantenga debajo de una página, digamos. Tal vez puedas encontrarlo.
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