Debo demostrar que un módulo noetheriano sobre un anillo noetheriano es fiel
He estado pensando por un tiempo, pero no se me ocurrió nada. Básicamente traté de probar que si es noether el núcleo de es cero, donde son los generadores de . el problema es que no se como usarlo es finitamente generado: podría decir que tengo un -mapa lineal , pero no parece útil en absoluto porque el núcleo de este mapa está lejos de ser cero. ¿Solo puedes dar una pista?
Su afirmación es claramente falsa. El módulo cero es obviamente noetheriano sobre cualquier anillo, pero nunca fiel (excepto sobre el anillo cero).
Y ese no es un contraejemplo cursi, también puedes tomar el módulo (que es finito, muy noetheriano) sobre el anillo por ejemplo. En resumen, no es en absoluto cierto, y los contraejemplos son bastante numerosos.
Esto suena como una confusión de (una declaración verdadera para los anillos conmutativos) "Si 𝐴 tiene un módulo noetheriano fiel, entonces 𝐴 es noetheriano", o bien un intento fallido de inventar una conversación. – rschwieb
@rschwieb ese es un intento fallido de inventar una conversación, escribí el texto exacto del ejercicio a continuación. – Dorian
en realidad, el texto del ejercicio requería probar que 𝑀 noetheriano y fiel implican 𝐴 noetheriano (y esto está claro), y mostrar que la fidelidad es necesaria. – Dorian
Cada anillo tiene un módulo Noetheriano porque cada anillo tiene un módulo simple. Esto funciona incluso para anillos no noetherianos. Entonces, obviamente, la fidelidad tiene un papel muy importante al hacer que el teorema "si tiene un módulo noetheriano fiel, entonces es una obra de Noether.
Ninguno de estos posibles conversos va a ninguna parte: los módulos noetherianos sobre los anillos noetherianos no necesitan ser fieles (por ejemplo, por un ideal no trivial ). Los módulos fieles sobre anillos noetherianos no necesitan ser noetherianos (p. ej. )
Pero un anillo Noetheriano obviamente tiene al menos un módulo Noetheriano fiel: es decir .
rschwieb
Dra. Scotti