¿Existe alguna ecuación de Schrödinger del átomo de hidrógeno dependiente del tiempo que se pueda resolver analíticamente?

Es bien sabido que el átomo de hidrógeno descrito por la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (despreciando cualquier efecto relativista) es completamente solucionable analíticamente.

Pero, ¿hay algún problema de valor inicial para la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para el hidrógeno que se pueda resolver analíticamente, tal vez con una aproximación de masa nuclear infinita, si simplifica algo? Por ejemplo, una evolución de algún paquete de ondas de electrones en un campo electrostático nuclear.

¿A qué te refieres con "analíticamente"? Probablemente no te refieras a la definición matemática, que es que la función converge a su serie de Taylor. Si quiere decir "que involucran funciones simples", debe saber que no hay diferencia cualitativa entre la integración numérica y las funciones especiales. De hecho, su computadora evalúa muchas funciones especiales comunes a través de la ecuación diferencial que satisfacen.
@ChrisWhite Me refiero a una solución explícita, en términos de tales funciones, que no requieren configurar una cuadrícula espacial densa y propagar la solución en pequeños pasos temporales para encontrar el valor en un punto dado en el espacio-tiempo con la precisión requerida.
Suponiendo una masa infinita del núcleo, básicamente tenemos un paquete de ondas de electrones en un 1/rpotencial central. Una cosa que me viene a la mente es la dispersión en un problema de potencial de Coulomb. No puedo decir de mi cabeza si es integrable, pero parece un punto de partida razonable.
Para una discusión de un paquete de ondas cuasiclásico de aspecto agradable como condición inicial, consulte esta respuesta .

Respuestas (3)

Por supuesto que los hay. Por eso, para empezar, resolvemos la versión independiente del tiempo de la ecuación de Schrödinger: porque dada cualquier función propia ψ 0 del hamiltoniano con valor propio mi , la combinación evolucionada en fase

ψ ( t ) = mi − i mi t / ℏ ψ 0
es una solución de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo y, además, cualquier combinación lineal de tales soluciones sigue siendo una solución.

Por supuesto, existe un prejuicio comprensible en contra de tomar un estado estacionario como condición inicial para el TDSE (pero es solo un prejuicio humano sin carne real que lo respalde). Si eso realmente te molesta, entonces puedes simplemente tomar una combinación lineal no trivial, como, digamos,

ψ = ψ 100 + ψ 210 2 ,
y luego mostrará oscilaciones en las distribuciones de probabilidad del espacio de posición y del espacio de momento. Para tomar prestado de mi respuesta a ¿Hay carga oscilante en un átomo de hidrógeno? , la función de onda explícita viene dada por

ψ ( r , t ) = ψ 100 ( r , t ) + ψ 210 ( r , t ) 2 = 1 2 π a 0 3 mi − i mi 100 t / ℏ ( mi − r / a 0 + mi − i ω t z a 0 mi − r / 2 a 0 4 2 ) ,
y esto va directamente a la densidad oscilante:
| ψ ( r , t ) | 2 = 1 2 π a 0 3 [ mi − 2 r / a 0 + z 2 a 0 2 mi − r / a 0 32 + z porque ⁡ ( ω t ) mi − 3 r / 2 a 0 2 2 a 0 ] .

Tomando una rebanada a través de la X , z plano, esta densidad se ve de la siguiente manera:

Esta combinación le brinda una solución analítica explícita de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. Ahora, nuevamente, es comprensible descartar esto como que de alguna manera "no es un paquete de onda real", en parte porque desde algunas perspectivas puede parecer "demasiado fácil", pero todos esos son prejuicios humanos con muy poco apoyo en bien definido y verdaderamente criterios matemáticos significativos sobre las condiciones iniciales o la solución correspondiente. Este es un paquete de ondas electrónico honesto que se mueve bajo la influencia de un núcleo de carga puntual.

Fue bastante estúpido de mi parte no descartar condiciones iniciales tan triviales como la superposición de un número finito de estados propios en el cuerpo de la pregunta (aunque mencioné esto en un comentario a otra respuesta ).
@Ruslan La pregunta que desea hacer está mal planteada, porque no hay un "metro trivial" bien definido para las condiciones iniciales. Lo único que le impide ver estas soluciones como paquetes de ondas legítimos son sus propios prejuicios personales. Son comprensibles, pero siguen siendo prejuicios y siguen siendo exclusivamente humanos.
Estoy de acuerdo contigo (ahora, 3 años después de que publiqué la pregunta). Ahora no estoy seguro de cómo salir de la trampa: la respuesta sobre la superposición de estados propios finitos es obvia, y hay dos respuestas de este tipo publicadas aquí. No responden lo que quería preguntar, pero todavía tienen un punto. Tal vez debería aceptar uno...

Lo que sí tiene disponible es un conocimiento explícito de los valores propios y los vectores propios (también para el espectro continuo). Al expandir su paquete de ondas inicial en términos de vectores propios, obtiene su valor para tiempos posteriores como una suma (o integral para espectro continuo) con factores de peso agregados exp[-i λ t], donde λ es el valor propio asociado con el vector propio correspondiente.

El problema con este enfoque es que uno necesita hacer muchas integraciones 3D numéricas para encontrar proyecciones del estado inicial en estados propios. Y si el estado inicial tiene una localización demasiado alta, de modo que gran parte de los estados del espectro continuo tienen una contribución al estado inicial, entonces habría que hacer aún más integrales. Este enfoque no parece muy bueno en general, es por eso que pregunté sobre la solución directa de la ecuación dependiente del tiempo.
Sí, veo tu problema. ¿Consideró el enfoque de la función de Green?
No sé mucho sobre las funciones de Green. ¿Podría explicar cómo aplicarlos a este problema (y qué leer para comprender mejor su explicación)?
Se conoce la función de Green del caso independiente del tiempo, tanto en representación de coordenadas como de momento. Si eso ayuda o no en tu caso, no lo sé.

La solución de un problema de valor inicial se puede escribir como integral de la función inicial ψ 0 multiplicado por el propagador del Schr. ecuación. Dependiendo de la función ψ 0 , la integral puede o no ser calculable en términos de funciones simples. No conozco ninguna función inicial. ψ 0 y potencial A ( t ) que admitiría solución exacta simple; la ecuación con término dependiente del tiempo es difícil de resolver. Una forma más gratificante parece ser encontrar la solución con una computadora. El problema real es, creo, en otra parte: ¿cómo encontramos la función apropiada? ψ 0 para describir átomos reales? A menudo se usa la primera función propia del hamiltoniano, pero no creo que esto esté particularmente bien motivado.

Mi pregunta fue "¿hay algún problema de valor inicial", no "cuál es la solución definitiva". Por supuesto, por condiciones iniciales no me refiero a unas tan triviales como la superposición de funciones propias finitas, sino a alguna forma de paquetes de ondas.
OK, he editado mi respuesta en consecuencia. Siento no poder ser de más ayuda.
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