¿Por qué se supone que un protón siempre está en el centro al aplicar la ecuación de Schrödinger?

Hay un riguroso análisis formal que te permite hacer esto. El verdadero problema, por supuesto, permite que tanto el protón como el electrón se muevan. La ecuación de Schrödinger correspondiente tiene así las coordenadas de ambos como variables. Para simplificar las cosas, generalmente se transforman esas variables a la separación relativa y la posición del centro de masa. Resulta que el problema luego se separa (para una fuerza central) en una ecuación de "protón estacionario" y una ecuación de partículas libres para el COM.

Hay un pequeño precio a pagar por esto: la masa para el movimiento del centro de masa es la masa total, como era de esperar, pero la ecuación radial tiene una masa dada por la masa reducida

$$\mu=\frac {Mm}{M+m}=\frac{m}{1+m/M} ,$$ que está cerca de la masa del electrón $m$ya que la masa del protón $M$es mucho mayor

Es importante tener en cuenta que se mantiene una separación exactamente análoga para el tratamiento clásico del problema de Kepler .

En cuanto a las autointeracciones, son muy difíciles de tratar sin invocar toda la maquinaria de la electrodinámica cuántica. Afortunadamente, en los límites de baja energía donde se pueden formar los átomos de hidrógeno, resulta que puedes ignorarlos por completo.

Supongo que estás hablando del átomo de hidrógeno; el hamiltoniano del sistema núcleo + electrón es

$$H = \frac{p_e^2}{2 m _e} + \frac{p_n^2}{2 m _n} - \frac{e^2}{|r_e - r_n|}.$$ Se puede hacer un cambio de coordenadas (centro de coordenadas de masa) $$\vec{R} = \frac{m_e \vec{r}_e + m_n \vec{r}_n}{m_e+m_n} \\ \vec{r} = r_e -r_n$$ y encuentre los momentos conjugados a estas coordenadas: $$\vec{P} = \vec{p}_e + \vec{p}_n \\ \vec{p} = \frac{m_n \vec{p}_e - m_e \vec{p}_n}{m_e+m_n}.$$ Definiendo también la masa reducida $\mu$tal que $$\frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_e} + \frac{1}{m_n}$$ y la masa total $M = m_e + m_n$, puedes escribir el átomo de hidrógeno hamiltoniano como $$H = \frac{P^2}{2 M} + \frac{p^2}{2 \mu} - \frac{e^2}{r} = H_{CM} + H_{rel}.$$ En estos cálculos siempre traté al núcleo como una partícula cuántica; pero si miras $H_{rel} = p^2/2\mu - e^2/r$y deja que la masa del núcleo tienda a infinito, obtienes el átomo de hidrógeno hamiltoniano que generalmente se enseña en los cursos básicos de QM. Además, no tienes otros términos como espín-órbita, acoplamientos jj, etc. porque son efectos relativistas que surgen de la ecuación de Dirac.

Con respecto a tu primera pregunta:

Una pregunta similar (¿la misma?) que razonablemente podría hacerse es: ¿cómo podemos suponer que el protón está estacionario, en el centro del problema, ya que seguramente será atraído por el electrón y se moverá un poco? Esta es una pregunta que sería tan válida dirigida a un sistema clásico --- digamos, un planeta que orbita alrededor de una estrella --- como uno de mecánica cuántica.

La solución a esto es como se describe anteriormente, por otros: el hecho de que la estrella/protón sea mucho más masivo que el planeta/electrón significa que se moverá muy poco (la aceleración de un objeto es inversamente proporcional a su masa , y por lo tanto con una gran masa tenemos una aceleración muy pequeña, es decir, muy poco movimiento), por lo que la naturaleza estacionaria de la estrella/protón es una gran aproximación. Y de hecho, podemos hacer el análisis completamente riguroso al tratar con separaciones relativas y masas reducidas. Pero la masa finita del protón significa que, de hecho, el protón en realidad no estará estacionario.

Sin embargo, no estoy seguro de que esta sea la pregunta que estás haciendo. Su preocupación no era "no es el protón una partícula de masa finita", sino "no es una partícula cuántica". La sugerencia es que usted piensa que el protón debería sacudirse debido a su naturaleza mecánica cuántica, es decir, debido al principio de incertidumbre, etc., independientemente de la masa del protón (tal vez me equivoque al respecto).

En el límite del protón que tiene una masa infinitamente mayor que la del electrón, la naturaleza mecánica cuántica del protón no lo obligará a sacudirse. En otras palabras, la incertidumbre en su posición,$\Delta x$, puede hacerse arbitrariamente cerca de cero. Esto es consistente con el principio de incertidumbre ya que su impulso$p$(masa x velocidad) puede tender a infinito en el límite de un protón infinitamente masivo. Por lo tanto, todavía podemos lograr

$$\Delta p \Delta x \geq \frac{\hbar}{2}$$

con una velocidad e incertidumbre posicional arbitrariamente pequeñas, si hacemos que la masa sea arbitrariamente grande.

En otras palabras, en el supuesto de que estamos usando para despreciar el movimiento del protón debido a que es atraído por el electrón, también podemos despreciar el movimiento del protón debido a los efectos de la mecánica cuántica.

La realidad, por supuesto, es que el protón se sacudirá, se sacudirá un poco debido a su naturaleza mecánica cuántica intrínseca, y se sacudirá un poco más debido a la fuerza de atracción del electrón. Sin embargo, esto se puede tratar rigurosamente como antes, utilizando separaciones relativas y masas reducidas.