ecuación de Schrödinger. para H-átomo

Question

ecuación de Schrödinger. para H-átomo

EpsilonDelta

La ecuación estacionaria de Schrödinger para el átomo de hidrógeno viene dada por

$\left(-\frac{\hbar^2}{2m_e}\Delta_e -\frac{\hbar^2}{2m_k}\Delta_k - \frac{Z e^2}{4\pi \varepsilon_0 |\vec r_e - \vec r_k|} \right) \Psi(\vec r_e, \vec r_k) = \mathrm E \Psi(\vec r_e, \vec r_k)$

donde el subíndice $e$ significa electrón y también $k$ para el núcleo.

No entiendo el potencial de Coulomb. El potencial de Coulomb del sistema total es el electrón en el campo del núcleo y al revés, el núcleo en el campo del electrón. Entonces, ¿por qué falta un factor 2 en el potencial de Coulomb?

Sé que en un análisis posterior podemos despreciar la energía cinética del núcleo y solo considerar un movimiento relativo $\vec r=\vec r_e - \vec r_k$ . ¿Es esto ya la aproximación de Born-Oppenheimer disfrazada?

Sebastián Riese

No, no es la aproximación de Born-Oppenheimer: separas el movimiento del centro de masa del movimiento relativo (al igual que en la mecánica clásica). Esto deja una ecuación con la masa reducida para las coordenadas relativas.

EpsilonDelta

Lo que básicamente significa que tomamos el protón como un punto rígido en el sistema de coordenadas y solo consideramos el movimiento del electrón relativo a él. ¿Y por qué podemos hacer eso? Porque el protón tiene mucha más masa en comparación con el electrón, que básicamente es el BO Appr, ¿no es así?

Sebastián Riese

No, eso no es lo que hacemos: separamos el centro de masa y las coordenadas relativas, es decir, la función de onda total es algo así como

Ψ ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}) = ϕ (\frac{m_{1} {\vec{r}}_{1} + m_{2} {\vec{r}}_{2}}{M}) ψ ({\vec{r}}_{1} - {\vec{r}}_{2})

$\Psi(\vec r_1, \vec r_2) = \phi\left(\frac {m_1 \vec r_1 + m_2 \vec r_2} M\right)\psi(\vec r_1 - \vec r_2)$ . Entonces verás, que

ψ

$\psi$ sigue una ecuación de Schrödinger donde el término de energía cinética es

- \frac{ℏ^{2} Δ}{2 μ}

$-\frac{\hbar^2\Delta}{2\mu}$ , dónde

μ = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}}

$\mu = \frac{m_1m_2}{m_1 + m_2}$ es la masa reducida y

\vec{r} := {\vec{r}}_{1} - {\vec{r}}_{2}

$\vec r := \vec r_1 - \vec r_2$ es la coordenada relativa. (Nota al margen: esto se hace explícitamente en cualquier libro de texto de mecánica cuántica elemental que valga la pena).

EpsilonDelta

Gracias lo tengo. Intenté esta transformación de coordenadas en este momento, pero de alguna manera no obtuve los resultados correctos. Publiqué una pregunta al respecto. ¿Podrías echarle un vistazo?

Respuestas (2)

ecuación de Schrödinger. para H-átomo

No, no es la aproximación de Born-Oppenheimer: separas el movimiento del centro de masa del movimiento relativo (al igual que en la mecánica clásica). Esto deja una ecuación con la masa reducida para las coordenadas relativas.
Lo que básicamente significa que tomamos el protón como un punto rígido en el sistema de coordenadas y solo consideramos el movimiento del electrón relativo a él. ¿Y por qué podemos hacer eso? Porque el protón tiene mucha más masa en comparación con el electrón, que básicamente es el BO Appr, ¿no es así?
No, eso no es lo que hacemos: separamos el centro de masa y las coordenadas relativas, es decir, la función de onda total es algo así como $\Psi(\vec r_1, \vec r_2) = \phi\left(\frac {m_1 \vec r_1 + m_2 \vec r_2} M\right)\psi(\vec r_1 - \vec r_2)$ . Entonces verás, que $\psi$ sigue una ecuación de Schrödinger donde el término de energía cinética es $-\frac{\hbar^2\Delta}{2\mu}$ , dónde $\mu = \frac{m_1m_2}{m_1 + m_2}$ es la masa reducida y $\vec r := \vec r_1 - \vec r_2$ es la coordenada relativa. (Nota al margen: esto se hace explícitamente en cualquier libro de texto de mecánica cuántica elemental que valga la pena).
Gracias lo tengo. Intenté esta transformación de coordenadas en este momento, pero de alguna manera no obtuve los resultados correctos. Publiqué una pregunta al respecto. ¿Podrías echarle un vistazo?

Goobs · Answer 1

Considere dos cargos $q_1$ y $q_2$ mantenido en cierta separación. Supongamos que queremos calcular la energía potencial del sistema. Por definición, la energía potencial es el trabajo realizado para ensamblar dicha distribución.

Podemos montar el sistema de dos formas:

Traer $q_1$ a su lugar; no se realiza trabajo durante esto ya que no hay campo presente. Entonces trae $q_2$ a su lugar; ahora te estas moviendo $q_2$ en el campo de $q_1$ así que el trabajo está hecho.
Traer $q_2$ primero y luego mover $q_1$ a su lugar en presencia del campo eléctrico de $q_2$ .

En cualquier caso, el trabajo realizado es el mismo, pero lo has hecho de una sola manera. Por lo tanto, no $2$ factor.

¿Qué pasaría si las fuerzas para 1) y 2) no fueran las mismas? (Vea mi respuesta) Sin embargo, entiendo su punto.
@EpsilonDelta Son iguales debido al hecho de que el campo eléctrico es conservativo (es decir, tiene un potencial).
Sin embargo, si desea desarmar el sistema, necesitaría el doble de la fuerza del ensamblaje, porque simplemente supuso que la primera partícula estaba fija en su lugar, cuando en realidad sería repelida (si las cargas son opuestas). Tiene razón por definición de la energía potencial, pero no considere ambos campos.

proyecto de ley n · Answer 2

Parece que estás pensando que el electrón tiene una energía potencial de Coulomb y que el núcleo tiene una energía potencial de Coulomb separada. Así no es como deberías pensar.

La energía potencial pertenece a todo el sistema interactuando con otras partes del sistema. Aquí tenemos un electrón interactuando con un protón. Ese sistema tiene energía potencial. Si tuviéramos que agregar otra partícula cargada, agregaríamos energía potencial al sistema.

A veces, cuando se trata de objetos que caen a la Tierra, asignamos una energía potencial a un objeto ( $mgh$ ), pero técnicamente eso es incorrecto. La energía pertenece al sistema de la Tierra y el objeto. La masa de la Tierra aparece cuando consideramos la $g$ término. Debido a que la Tierra tiene tanta masa en comparación con el objeto que cae tradicional, y debido a la conservación del momento, la mayor parte del cambio de energía potencial se debe al cambio de la energía cinética del objeto, por lo que ignoramos (justificadamente) lo que le sucede al planeta en ese situación. Pero, desafortunadamente, ignorar eso sin explicación conduce a una mala interpretación de la energía potencial. :(

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