Evaluar limn→∞n2+2n−−−−−−√−[n2+2n−−−−−−√]limn→∞n2+2n−[n2+2n]\lim_{n \to \infty} \sqrt {n^2+2n}-\izquierda[\sqrt{n^2+2n}\derecha]

Question

Ekaveera Gouribhatla

Evaluar

\underset{norte \to \infty}{límite} \sqrt{{norte}^{2} + 2 norte} - [\sqrt{{norte}^{2} + 2 norte}]

$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2+2n}-\left[\sqrt{n^2+2n}\right]$

dónde $[.]$ es la mayor función entera

Mi intento:

Tenemos

L = \underset{norte \to \infty}{límite} {\sqrt{{norte}^{2} + 2 norte}}

$L=\lim_{n \to \infty} \left\{\sqrt{n^2+2n} \right\}$ dónde

{.}

$\left\{.\right\}$ denota parte fraccionaria de

x

$x$

tenemos

L = \underset{norte \to \infty}{límite} {norte (\sqrt{1 + \frac{2}{norte}})}

$L=\lim_{n \to \infty} \left\{n \left(\sqrt{1+\frac{2}{n}}\right)\right\}$

Ahora tenemos

(\sqrt{1 + \frac{2}{norte}}) = 1 + \frac{1}{norte} - \frac{1}{2 {norte}^{2}}

$\left(\sqrt{1+\frac{2}{n}}\right)=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}$

Por eso

L = \underset{norte \to \infty}{límite} {norte + \frac{norte}{norte} - \frac{1}{2 norte}}

$L=\lim_{n \to \infty} \left\{n+\frac{n}{n}-\frac{1}{2n}\right\}$ Entonces

L = \underset{norte \to \infty}{límite} 1 - \frac{1}{2 norte} = 1

$L=\lim_{n \to \infty} 1-\frac{1}{2n}=1$

¿Es este el enfoque correcto?

DXT · Answer 1

{norte}^{2} < {norte}^{2} + 2 norte < {norte}^{2} + 2 norte + 1

$n^2<n^2+2n<n^2+2n+1$

norte < \sqrt{{norte}^{2} + 2 norte} < (norte + 1)

$n<\sqrt{n^2+2n}<(n+1)$

Entonces $\lfloor \sqrt{n^2+2n}\rfloor =n$

Entonces tenemos que calcular

\underset{norte \to \infty}{límite} (\sqrt{{norte}^{2} + 2 norte} - norte)

$\lim_{n\rightarrow \infty}\bigg(\sqrt{n^2+2n}-n\bigg)$

Por qué esta manera es incorrecta: $\lfloor \sqrt{n^2+2n}\rfloor = x , \lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2+2n}-\left[\sqrt{n^2+2n}\right] = \lim_{x \to \infty} x - \lfloor x \rfloor$ por lo que el límite no existe.
@SHW: Parece claro a partir de la pregunta que $n$ varía sobre los números enteros positivos, no sobre los números reales positivos, y eso importa en esta pregunta. Su comentario asume $n$ oscila sobre los reales positivos.