Resolviendo un límite de secuencia con piso

Sabemos que para cualquier$\alpha$,

$$\alpha-1<[\alpha]\leq \alpha$$ de este modo: $$\frac{nx-1}{n}<\frac{[nx]}{n}\leq\frac{nx}{n}$$ Ahora aprieta para obtener $$\lim_{n\to\infty}\frac{[nx]}{n}=x$$

Pista. Tenga en cuenta que$na-1<\lfloor na\rfloor \leq na$lo que implica que

$$a-\frac{1}{n}=\frac{na-1}{n}<\frac{\lfloor na\rfloor}{n} \leq \frac{na}{n}=a\implies \left|\frac{\lfloor na\rfloor}{n}-a\right|<\frac{1}{n}.$$

Desde$\forall n,a : na-1 < \lfloor na \rfloor\leq na$podemos escribir

$$\lfloor na \rfloor na = na - \alpha(n,a)$$ con $\forall a :0 \leq \alpha(n,a) < 1$. ahora aplicar $n(\epsilon)-\epsilon$definición de límite: Tomar cualquier $\epsilon > 0$, y deja $n(\epsilon) = \frac2\epsilon$. Entonces para todos $n > n(\epsilon)$, $$a - \frac{\lfloor na \rfloor}{n} = a - \frac{na - \alpha(n,a)}{n} = a - \left(a - \frac{- \alpha(n,a)}{n}\right) = \frac{ \alpha(n,a)}{n} < \frac{ \alpha(n,a)\epsilon}{2} < \epsilon$$ y también $a - \frac{\lfloor na \rfloor}{n} \geq 0$entonces $$\left| a - \frac{\lfloor na \rfloor}{n} \right| < \epsilon$$ mostrando así que el límite deseado es $a$.