Cómo encontrar limx→2|x−2|2x−x2limx→2|x−2|2x−x2\lim_{x\to 2}\frac{|x-2|}{2x-x^2}

La mejor manera es considerar por separado los dos casos.

• $x>2$eso es$x \to 2^+$tenemos$|x-2|=x-2$y por lo demás

• $x<2$eso es$x \to 2^-$tenemos$|x-2|=-x+2$y por lo demás

Puede que le resulte más fácil analizar con la sustitución$u = x-2$. Entonces se convierte

$\lim_{u \rightarrow 0}\frac{|u|}{-u(u+2)}=\lim_{u \rightarrow 0}\frac{-1}{u+2}\frac{|u|}{u}=\left(\lim_{u \rightarrow 0}\frac{-1}{u+2}\right)\left( \lim_{u \rightarrow 0}\frac{|u|}{u}\right)=\frac {-1}2 \left(\lim_{u \rightarrow 0}\frac{|u|}{u}\right)$

$\frac{|u|}u$es solo$sign(u)$: es$-1$para$u<0$y$1$para$u>0$.

primero: si$f(x) = \frac{|x-2|}{2x-x^2}$entonces :$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{x-2}{x\cdot (2-x)} = \lim_{x \to 2^+} -\frac{1}{x} = -\frac{1}{2}$y$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{2-x}{x\cdot (2-x)} = \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$pero de la definición tenemos$\lim_{x \to 2} f(x) =l \Leftrightarrow \lim_{x \to 2^+} f(x) =\lim_{x \to 2^-} f(x) =l$pero$\frac{1}{2} \neq -\frac{1}{2}$así límite de$f(x)$en$x=2$no existe.

La definición por partes de un módulo establece que siempre que