Encontrar las derivadas usando límites. Qué hacer cuando tienes un límite dentro de un límite

La segunda derivada se define en términos de la primera derivada. di que tienes$f:D \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$y por cada$x \in \mathring{D}$definimos$f'(x)$Como lo hiciste tú. (Si no está familiarizado con$\mathring{D}$, significa el interior de$D$, a saber, el conjunto de puntos que tienen un intervalo abierto a su alrededor que también está contenido en$D$. Hacemos esto porque realmente no tiene sentido medir la tasa de cambio en puntos del dominio que están "aislados"). Sin embargo, para un punto fijo$x$, el límite en la definición de$f'(x)$no tiene que existir (de hecho, la mayoría de las veces no existe, y en ese caso la función no es diferenciable **en ese punto; tomemos por ejemplo la función$x \rightarrow \left\lvert x \right\rvert$. El límite existe en cada punto.$x \neq 0$, pero no en$x=0$).

Ahora, tome el conjunto de todos los puntos para los cuales existe este límite, es decir, sea$E := \left\lbrace x \in D : f'(x) \mathrm{ exists} \right\rbrace$. Ahora, por cada$x \in \mathring{E}$, podemos definir$\displaystyle f''(x):=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}$. En esta definición,$f''(x)$se trata simplemente como la derivada estándar de la función f', que para cada$x \in E$te da la salida$f'(x)$. De nuevo,$f''(x)$podría no existir para algunos (o cualquiera)$x \in E$. La diferencia entre esto y su definición de$f''(x)$es sutil pero crucial: lo que dice su segunda definición es: (por$x \in D$) primero toma los límites$\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x+2h)-f(x+h)}{h}$y$\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$; desde$x$es fijo, obtendrá dos constantes que resultan ser$f'(x)$, por lo que de hecho restarán a$0$y así obtendrás tu definición$f''(x)=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{0}{h} = 0$; por lo tanto, obtendrías que la segunda derivada es$0$en cada punto para cada función, que ciertamente no es el caso.

Lo que ha hecho está casi bien, pero debe usar diferentes símbolos para diferentes operadores de límite como

$$f''(a) =\lim_{h\to 0}\dfrac{\lim_{k\to 0}\dfrac{f(a+h+k)-f(a+h)}{k}-\lim_{l\to 0}\dfrac{f(a+l)-f(a)}{l}}{h}$$ Sin embargo, si usted está tratando de lograr una definición de$f''$únicamente en términos de$f$como una especie de límite complicado, entonces eso no va a funcionar.

¿¿Por qué?? Entendamos los requisitos de la definición de derivada como límite. Como requisito previo debemos tener$f$definido en un cierto vecindario de$a$de modo que la expresión por debajo del límite utilizada para$f'(a)$tiene sentido. Así, para definir$f''(a)$Debemos tener$f'$definido en algún barrio de$a$. Ahora ese requisito no se puede cumplir usando ninguna definición como

$$f''(a) =\lim_{h\to 0}g(a,h)$$ porque esencialmente estamos lidiando con solo la vecindad de$a$y no puede garantizarnos nada sobre el comportamiento de una función en puntos distintos de$a$.