Encuentre un ángulo de un triángulo en un triángulo más grande que corte a través de su punto medio

Question

Encuentre un ángulo de un triángulo en un triángulo más grande que corte a través de su punto medio

ami_ba

en triangulo $\triangle BAC$ con $\angle ABC = 30\deg$ . $D$ es el punto medio de $BC$ . Nos sumamos $A$ y $D$ y $\angle CDA = 45 \deg$ . Encontrar $\angle BAC$ .

Al aplicar la regla del seno,

\frac{2 X}{pecado (15 + θ)} = \frac{A C}{pecado 30}

$\frac{2x}{\sin {(15+\theta)}}=\frac{AC}{\sin 30}$ y también

\frac{X}{pecado θ} = \frac{A C}{pecado 45}

$\frac{x}{\sin \theta}=\frac{AC}{\sin 45}$
Dónde

x

$x$ es

C D

$CD$ o

D B

$DB$ y

θ

$\theta$ es

∠ C A D

$\angle CAD$ .

Pero resolver esto da

\frac{pecado (15 + θ)}{pecado θ} = \sqrt{2}

$\frac{\sin {(15+\theta)}}{\sin \theta}=\sqrt 2$

¿Es esto correcto?

Leonhard Euler

Creo que esto se puede solucionar demandando solo ángulos F y Z. Dibujar una línea paralela a

A B

$AB$ que pasa

C

$C$ .

ami_ba

@stuartstevenson Ok... pero... ¿puedes seguir mi método?... quiero saber por qué no funciona.

Dr. Sonnhard Graubner

¡Creo que tu segunda ecuación es incorrecta!

Leonhard Euler

No creo que haya un problema con eso.

Dr. Sonnhard Graubner

pero creo que sí, no puedes usar

45^{\circ}

$45^{\circ}$ Y

θ

$\theta$ en el triangulo

Δ A D C

$\Delta ADC$

Leonhard Euler

Creo que la ecuación dada solo necesita ser resuelta para theta menos de 135 grados.

vasili

En tu última ecuación, obtengo

2 \sqrt{2}

$2\sqrt{2}$ en el lado derecho

Respuestas (3)

Encuentre un ángulo de un triángulo en un triángulo más grande que corte a través de su punto medio

Creo que esto se puede solucionar demandando solo ángulos F y Z. Dibujar una línea paralela a $AB$ que pasa $C$ .
@stuartstevenson Ok... pero... ¿puedes seguir mi método?... quiero saber por qué no funciona.
pero creo que sí, no puedes usar $45^{\circ}$ $45^{\circ}$ Y $θ$ $\theta$ en el triangulo $Δ A D C$ $\Delta ADC$
Creo que la ecuación dada solo necesita ser resuelta para theta menos de 135 grados.
En tu última ecuación, obtengo $2\sqrt{2}$ en el lado derecho

vasili · Answer 1

Me parece bien tu razonamiento. Usando tu segunda ecuación,

A C = \frac{X}{\sqrt{2} pecado θ}

$AC=\frac{x}{\sqrt{2}\sin{\theta}}$ ahora sustituyendo

A C

$AC$ en la primera ecuación,

\frac{2 X}{pecado (15 + θ)} = \frac{2 X}{\sqrt{2} pecado θ}

$\frac{2x}{\sin{(15+\theta)}}=\frac{2x}{\sqrt{2}\sin{\theta}}$ o

pecado (15 + θ) = \sqrt{2} pecado θ

$\sin{(15+\theta)}=\sqrt{2}\sin{\theta}$ Usando la identidad trigonométrica,

porque 15 pecado θ + pecado 15 porque θ = \sqrt{2} pecado θ

$\cos15\sin\theta+\sin15\cos\theta=\sqrt{2}\sin{\theta}$ dividiendo por

\sin θ

$\sin\theta$ obtenemos

cuna θ = \frac{\sqrt{2} - porque 15}{pecado 15}

$\cot\theta=\frac{\sqrt{2}-\cos15}{\sin15}$ Sabiendo que

\sin 15 = \frac{\sqrt{3} - 1}{2 \sqrt{2}}

$\sin15=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$ ,

\cos 15 = \frac{\sqrt{3} + 1}{2 \sqrt{2}}

$\cos15=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ obtenemos

\cot θ = \sqrt{3}

$\cot\theta=\sqrt{3}$ ,

θ = 30 °

$\theta=30°$

Dr. Sonnhard Graubner · Answer 2

necesitarás tres ecuaciones

a^{2} = b^{2} + C^{2} - 2 b C porque (α)

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\alpha)$

a = \frac{b pecado (α)}{pecado (30^{\circ})}

$a=\frac{b\sin(\alpha)}{\sin(30^{\circ})}$

C = \frac{b pecado (150^{\circ})}{pecado (30^{\circ})}

$c=\frac{b\sin(150^{\circ})}{\sin(30^{\circ})}$ entonces puedes dividir por

b^{2}

$b^2$ y obtendrás solo una ecuación para

α

$\alpha$

dfnu · Answer 3

Nunca subestimes el poder de la geometría euclidiana

Por el teorema del ángulo exterior $\angle DAB = 15°$ .
Sacar de $C$ la recta perpendicular a $AB$ , intersección $AB$ en $E$ . entonces tenemos $\angle ECB = 60°$ y por lo tanto $\triangle EBC$ es la mitad de un triángulo equilátero y $CE \cong \frac{BC}{2} \cong CD \cong BD$ .
ahora conéctate $E$ con $D$ . $\triangle CED$ es isósceles, pero teniendo $\angle ECB = 60°$ , también es equilátero y por lo tanto $ED \cong CE$ , y $\angle EDA = \angle DAB = 15°$ .
Entonces $\triangle AED$ es isósceles y obtenemos también $AE \cong CE$ .
Concluimos que $\triangle ACE$ es isósceles y rectángulo. Por lo tanto $\angle BAC = 45°$ .

$\blacksquare$

Encuentre un ángulo de un triángulo en un triángulo más grande que corte a través de su punto medio

ami_ba

Leonhard Euler

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vasili

Respuestas (3)

vasili

ami_ba

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dfnu

¿Las medianas (u otras cevianas) forman todos los triángulos?

PQ∥BCPQ∥BCPQ ∥ BC para isósceles △ABC△ABC\triángulo ABC y equilátero inscrito △PQR△PQR\triángulo PQR siendo RRR el punto medio de BCBCBC

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