¿Cuál es el punto de la teoría de la perturbación degenerada en la mecánica cuántica?

No necesita usar un ejemplo de juguete inventado. Solo toma hidrógeno ordinario.

Si modelamos el hidrógeno como un electrón sin espinas en un potencial de Coloumb esféricamente simétrico (como se hace en la clase de mecánica cuántica), entonces el hidrógeno tiene una enorme degeneración. Para cualquier$n$, todos los estados$\ell,m$con$0\leq\ell \leq n$y$-\ell \leq m \leq \ell$tienen la misma energía, eso es algo así como$n^2$estados con la misma energía.

Entonces, esa es una respuesta parcial: la teoría de la perturbación degenerada es importante porque eso es lo que necesita para lidiar con un problema importante del mundo real.

A menudo, las degeneraciones existen porque hay una simetría en el hamiltoniano libre (esto es cierto para el hidrógeno, de hecho, hay incluso más simetría en el hidrógeno de lo que piensas). Cuando agrega una perturbación, una de las cosas más importantes que suele suceder es que la perturbación rompe la simetría del hamiltoniano libre.

Eso es lo que sucede en la estructura fina del hidrógeno, por ejemplo.

Tenga en cuenta que no se trata de calcular mejores funciones de onda. La división de los niveles de energía ya se puede ver en la corrección de primer orden de las energías. La fina estructura rompe la degeneración entre diferentes$\ell$valores fijos$n$.

Por último, a menudo desea continuar trabajando con estados propios de energía incluso después de haber introducido la perturbación. Sigamos con el hidrógeno. Para elegir estados propios de energía, especifico$n$, pero luego puedo elegir cualquier base que quiera en el subespacio degenerado y aún tener estados propios de energía. Una vez que introduzco una perturbación que genéricamente no será cierta. Solo ciertos estados propios especiales continuarán teniendo energía definida. Otros estados en ese subespacio terminarán como una superposición sobre los niveles de energía divididos perturbados y, por lo tanto, no tendrán energía definida.

Digamos que solo necesitamos las correcciones de primer orden. ¿Necesitamos diagonalizar el subespacio degenerado de la perturbación?

Sí, para aplicar la teoría de perturbaciones necesitamos que la matriz de perturbaciones esté en forma diagonal, de esta manera podemos calcular adecuadamente las energías del multiplete. Esta afirmación no significa que siempre debamos diagonalizar una matriz a mano: muchas veces podemos explotar las simetrías de nuestro problema para encontrar algunos estados propios "buenos" de$H_0$a la que podemos aplicar la teoría de la perturbación ordinaria.

¿Existe alguna intuición más profunda (ya sea física o geométrica, relacionada con la noción de espacios propios degenerados)?

Sí, se puede buscar un operador$A$tal que$[A, H_0]=0$y$[A, V]=0$($V$es la perturbación) y encuentre los estados propios de$A$en el subespacio en el que$H_0$tiene un espectro degenerado. Entonces uno puede aplicar la teoría de la perturbación a estos estados. Aquí creo que un ejemplo explicativo podría ser útil: considere una partícula en un pozo de potencial infinito bidimensional$U(x, y)$tal que

$$U(x, y)=\cases{0 \hspace{0.6cm} x\in [0, a], y\in [0, a] \\ \infty \hspace{0.6 cm} \text{otherwise}}$$

y una perturbación$\lambda V(x, y)$que se puede escribir como

$$\lambda V(x, y)=\cases{\lambda \hspace{0.6cm} x\in [0, b], y\in [0, b]\\ 0 \hspace{0.6 cm} \text{otherwise}}$$ dónde$b<a$y$\lambda$es un parámetro suficientemente pequeño con respecto a la separación de energía del hamiltoniano inicial$H_0=\frac{p^2}{2m}+U(x, y)$autoestados. Dejar$|n_x n_y\rangle$ser los estados propios de$H_0$y deja$\Psi^{(0)}_{n_x n_y}$ser las proyecciones de estos estados en la base de posición$\langle x|n_x n_y\rangle$, obtenemos

$$\Psi^{(0)}_{n_x n_y}=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \left(\frac{n_x \pi x}{a}\right)\sin \left(\frac{n_y \pi y}{a}\right)$$ Los primeros dos estados degenerados son$|1 2\rangle$y$|2 1\rangle$, de hecho comparten la misma energía, a saber$\frac{5}{2}\frac{\pi^2 \hbar^2}{ma^2}$. llamemos$P_{xy}$el operador que realiza una reflexión con respecto a la bisectriz$x=y$invirtiendo las coordenadas$x$y$y$. Podemos notar que$|1 2\rangle$y$|2 1\rangle$no son estados propios de$P_{xy}$, pero las combinaciones lineales como $$\cases{|+\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}(|1 2\rangle +|2 1\rangle ) \\ |-\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}(|1 2\rangle -|2 1\rangle )}$$ producir dos estados propios para$P_{xy}$con valores propios$+1$y$-1$, por eso$P_{xy}$es diagonal en la representación de la$\{|+\rangle, |-\rangle\}$base. Desde$V(x, y)$es invariante bajo el intercambio de$x$y$y$, podemos deducir que$[P_{xy}, V]=0$. Esta última afirmación dice implícitamente que también$V$está en forma diagonal en el$\{|+\rangle, |-\rangle\}$base, de hecho $$\langle +|[P_{xy}, V]| -\rangle=\langle +|P_{xy}V| -\rangle-\langle +|VP_{xy}| -\rangle=2\langle +| V| -\rangle=0 \Longrightarrow \langle +| V| -\rangle=0$$ Por lo tanto, podemos expresar las energías de los dos estados propios degenerados usando una corrección de primer orden: $$\cases{E_+=\frac{5}{2}\frac{\pi^2 \hbar^2}{ma^2}+\lambda \langle +| V| +\rangle \\ E_-=\frac{5}{2}\frac{\pi^2 \hbar^2}{ma^2}+\lambda \langle -| V| -\rangle }$$

Desde aquí se puede ver claramente que la perturbación elimina la degeneración de los niveles generando lo que se denomina "división".