La suma de las potencias nthnthn^{\text{th}} de las raíces de un polinomio mónico con coeficientes enteros es siempre un número entero

La siguiente pregunta está inspirada en

Demostrando que la suma de norte t h potencias de las raíces de una cuadrática con coeficientes enteros también es un número entero

Tengo curiosidad, si podemos generalizarlo a todos los polinomios mónicos con coeficientes enteros, es decir, es la suma de los norte el potencias de las raíces de un polinomio mónico con coeficientes enteros siempre enteros?

Esto es lo que he hecho hasta ahora:

Dejar pag ( X ) = X d + ∑ i = 0 d − 1 C i ⋅ X i con C i ∈ Z . Dejar α ser una raíz arbitraria de pag , luego de α norte + ∑ i = 0 d − 1 C i ⋅ α i = 0 sigue

α d = − ∑ i = 0 d − 1 C i ⋅ α i
Por lo tanto, para norte ≥ d , podemos multiplicar por α norte − d y obten
α norte = − ∑ i = 0 d − 1 C i ⋅ α norte − d + i .
Como esto es válido para todas las raíces, podemos resumir esta ecuación sobre todas las raíces de pag pero con fijo norte . Dejar s norte ser la suma de los norte el poder de todas las raíces de pag , obtenemos por norte ≥ d
s norte = − ∑ i = 0 d − 1 C i ⋅ s norte − d + i ,
que es un número entero, si s 0 , … , s d − 1 son números enteros. Y aquí me quedé, porque no puedo probar, que son números enteros. Yo sé eso s 0 = d y s 1 = ( − 1 ) d + 1 C 1 son números enteros, pero nada más.

Tenga en cuenta que se debe suponer que el polinomio es mónico ; de lo contrario, el resultado es obviamente falso para un polinomio de grado uno que no es mónico.
Sí, gracias :) Eso es correcto. Aquí es donde falla la base de inducción. Lo corregiré.
el polinomio q X + pag tiene una raíz X = − pag / q . el polinomio q X 2 + pag X tiene dos raíces X = − pag / q , 0. la suma de los norte -ésima potencia de las raíces de cada polinomio es la misma que para el otro para norte > 0.
Sí, tienes razón, ya lo vi. pero gracias

Respuestas (1)

La respuesta es sí.

Dejar q = X 1 norte + . . . + X d norte ∈ Z [ X 1 , . . . , X d ] . el polinomio q es un polinomio simétrico, entonces por el teorema fundamental de los polinomios simétricos , q es un polinomio en los polinomios simétricos elementales mi 1 , . . . , mi d . Así que si λ 1 , . . . , λ d denota las raíces de pag , tu consigues eso q ( λ 1 , . . . , λ d ) es un polinomio (con coeficientes enteros) en el mi k ( λ 1 , . . . , λ d ) , que son exactamente los coeficientes de pag . Entonces q ( λ 1 , . . . , λ d ) es un polinomio en los coeficientes de pag , y porqué pag tiene coeficientes enteros, entonces q ( λ 1 , . . . , λ d ) ∈ Z .

Observe que esto funciona para cualquier polinomio simétrico en lugar de q .

Me gusta esta respuesta. ¿Por qué alguien lo rechaza?
@Jochen me estoy haciendo la misma pregunta :)
¿Debería eliminar la pregunta? No es tan trivial.
@Jochen No, ¡creo que es una buena pregunta! (Tampoco sé por qué tu pregunta también ha sido rechazada...)
Muchas gracias :)
La suma de las potencias nthnthn^{\text{th}} de las raíces de un polinomio mónico con coeficientes enteros es siempre un número entero
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