¿Podemos derivar la ley de Hooke de la teoría de la elasticidad? Sé que no es una ley fundamental y por lo tanto puede derivarse de consideraciones más básicas.
Sí, podemos derivar la Ley de Hooke a partir de condiciones continuas más básicas, siempre que el material sea estable y esté en equilibrio, de modo que la energía de deformación se minimice suavemente con respecto a la distancia entre los átomos. (Esta energía a veces se denomina potencial de par y se modela mediante funciones como el potencial de Lennard-Jones ).
Considere sólo un par de átomos. Para ligeras desviaciones de posición (correspondiente a la suposición de elasticidad lineal de pequeña deformación) alrededor del mínimo de energía suave , la energía , independientemente de su verdadera forma funcional, se puede expandir usando una serie de Taylor:
donde la notación prima denota derivadas con respecto a la posición. Ahora fijemos nuestra referencia de energía a , tenga en cuenta que porque estamos en un mínimo de energía, y caemos todos menos el próximo término. Esto da
que describe la energía de un resorte idealizado con constante de resorte y desplazamiento ; la derivada de esta ecuación con respecto a la posición proporciona la fuerza restauradora, que es
Ahora defina el estrés como y tensión de ingeniería como y tenemos
que es la ley de Hooke simple para un módulo elástico correspondiente .
Me gusta esta derivación en particular porque evita el requisito de especificar fuerzas interatómicas, como la fuerza de Coulomb y la fuerza de Pauli. Sin embargo, técnicamente tendrá una relación para la compresión y otra para la tensión y, por lo tanto, dos constantes elásticas. En la escala macro, este método producirá el trabajo clásico y las funciones de trabajo virtual con las que los ingenieros estructurales están tan familiarizados. Esta es una excelente derivación.
qmecanico