Campos vectoriales en variedades pseudo-Riemmannianas [cerrado]

Para variedades pseudo-riemannianas arbitrarias: la respuesta es no en general.

Tome la tira estándar de Moebius, parametrizada como$(t,x) \in \mathbb{R}\times [0.1]$con$(t,0)$identificado con$(-t,1)$.

Se puede comprobar que la métrica plana$m = -dt^2 + dx^2$es lorentziano y suave en la tira.

Un vector similar a la luz global que no se desvanece tendrá una proyección global que no se desvanece en el$t$componente, pero como es bien sabido para la tira de Moebius esto es imposible.

Esta construcción, sin embargo, es un problema específico de las variedades de Lorentz.

Dejar$N_p M$denote el conjunto de todos los vectores nulos distintos de cero en$p\in M$.

• Cuando$M$es riemanniano,$N_pM = \emptyset$
• Cuando$M$es lorentziano,$N_pM$tiene múltiples componentes conectados (cuando la dimensión es 2 hay 4 componentes, y cuando la dimensión es >2 hay 2 componentes).
• Cuando$M$no es ni riemanniano ni lorentziano,$N_pM$está conectado.

Nuestra construcción topológica se basa enteramente en la no orientabilidad temporal de la variedad lorentziana dada, lo que implica que la falta de un continuo (sobre$p$) selección de un componente de$N_pM$. Para variedades pseudo-riemannianas no lorentzianas, esto obviamente no es un problema.

Sin embargo, puede haber restricciones topológicas adicionales: por ejemplo, en$\mathbb{R}\times\mathbb{S}^2$con$g = -dt^2 + g_{\mathbb{S}^2}$, si toma un campo de vector nulo global, su proyección espacial será un campo de vector que no desaparece en$\mathbb{S}^2$, que puede ser descartado por el teorema de la bola peluda.