Estado fundamental de bosones compuestos y que no interactúan en una red

Fondo

Considere un sistema de celosía descrito por el hamiltoniano

H = − j ∑ ⟨ i j ⟩ ( Δ i † Δ j + h . C . )
dónde Δ i , Δ i † destruir y crear una partícula en el sitio i respectivamente, y j es la amplitud de salto, aquí involucrando solo a los vecinos más cercanos. Ahora si Δ i , Δ i † son operadores bosónicos elementales este hamiltoniano describe el modelo de Bose-Hubbard en el límite de no interacción, y el estado fundamental si no hay ruptura de simetría superfluida es un condensado de Bose-Einstein que se obtiene escribiendo los niveles de energía de una sola partícula en el espacio de momento ε k = − 2 j C o s ( k ) y ocupando masivamente el estado más bajo en k = 0 con todo el norte partículas: | GRAMO . S . ⟩ = ( Δ k = 0 † ) norte | 0 ⟩ , dónde | 0 ⟩ es el vacío. Para escribir el estado fundamental en términos de estados de Fock en el espacio real, podemos usar el hecho de que Δ k = 0 † = ∑ i Δ i † , y obtenemos una combinación lineal que involucra muchos estados, incluidos los estados de Fock donde está presente más de una partícula por sitio.

Primera pregunta

Puede dar una respuesta muy rápida aquí: ¿es cierto que la simetría no está rota, o no?

Segunda pregunta

Esta es la verdadera pregunta: no importa si la simetría se rompe o no, el estado fundamental siempre contendrá estados de Fock con más de una partícula en cada sitio de red. Entonces, ¿qué pasa si ahora las partículas son bosones compuestos hechos de dos fermiones en un estado de espín singlete? Más concretamente, si Δ i † = C i ↑ † C i ↓ † , dónde C i σ † satisfacer las reglas de anticonmutación fermiónicas, no puede tener más de un bosón por sitio, ¡debido a la exclusión de Pauli en los fermiones! Entonces, ¿puedes escribir explícitamente el estado fundamental en este caso?

Mis pensamientos

Creo que el principio de Pauli introduce una restricción en el espacio de Hilbert: el espacio de Hilbert restringido solo contiene estados de Fock con 0 o 1 bosón por sitio. Pero aún estoy confundido por el hecho de que esencialmente estas partículas compuestas aparentemente no se condensan en absoluto...

Hay bastantes preguntas anteriores sobre BEC de bosones compuestos, consulte, por ejemplo, physics.stackexchange.com/questions/455538/… physics.stackexchange.com/questions/602741/… physics.stackexchange.com/questions/546836/… y enlaces en el mismo

Respuestas (1)

Primera pregunta ¿Se rompe la simetría en un estado BEC?

Este es un punto sutil, y probablemente no sea realmente lo que quieres saber. Lo que pasa es que los operadores de fase y número son canónicamente conjugados. En el sentido habitual, la simetría se rompe cuando existe un valor esperado definido de la fase (con respecto a una fase de referencia estándar), es decir, la fase es el parámetro de orden. Sin embargo, si sabemos exactamente cuántos bosones hay en el sistema, el sistema se encuentra en un estado propio del operador numérico, lo que significa que la fase es máximamente indeterminada.

Una pregunta más útil es: ¿existe un orden de largo alcance en el estado BEC? Y la respuesta es sí. (En este contexto, generalmente se denomina orden de largo alcance fuera de la diagonal).

Esta ausencia de simetría rota en sentido estricto fue y es enfatizada particularmente por Leggett, ver por ejemplo https://doi.org/10.1007/BF01883640 . Otro buen tratamiento está en el libro reciente de Tasaki https://doi.org/10.1007/978-3-030-41265-4 .

Segunda pregunta ¿Cuál es el estado BEC de los fermiones compuestos?

Esta es la función de onda BCS

| B C S ⟩ = ∏ k ( tu k + v k C ^ k † C ^ − k † ) | ⟩

dónde tu k y v k son coeficientes complejos que satisfacen | tu k | 2 + | v k | 2 = 1 para cada k .

A primera vista, esto parece bastante diferente a poner todos los bosones (pares de Cooper) en el mismo k = 0 estado. Pero hay otro punto de vista más útil:

Los bosones libres del modelo de Bose-Hubbard que no interactúan están deslocalizados al máximo. Los pares de Cooper en el estado BCS también están lo más deslocalizados posible para los fermiones, que sufren el principio de exclusión de Pauli. todos se abrazan k = 0 tanto como sea posible (que quizás no sea tanto, toda la acción ocurre en el nivel de Fermi, que es del orden de 1eV o 10000K).

Pero lo específico k -los valores de los estados ocupados no son tan importantes. De hecho, para muchos cálculos podemos considerar el estado BCS como un estado propio del operador de aniquilación del par de Cooper, es decir

C ^ k C ^ − k | B C S ⟩ = | B C S ⟩ para cualquier k .

Esto implica que uno puede quitar (y por lo tanto agregar) pares a voluntad del condensado. ¿Cómo puede ser esto? Debido a que el número de estados con cantidad de movimiento exactamente k se convierte en medida cero. Esta es solo una aproximación muy buena y útil. En esta aproximación, el número de pares en el estado BCS es indeterminado, mientras que la fase obtiene un valor esperado definido. Este es el estado de simetría rota. En superconductividad (así como en superfluidos) tiene mucho sentido, ya que podemos extraer bosones/pares del estado normal en el modelo de dos fluidos.

Otra idea es que el estado BCS es un estado BEC, macroscópicamente ocupado por bosones b ^ † , dónde

b ^ † = ∑ k ( v k / tu k ) C ^ k † C ^ − k †

Entonces, estos bosones no tienen un valor propio de momento definido, aún así el estado está bien especificado. Véase, por ejemplo, el libro de Piers Coleman: https://doi.org/10.1017/CBO9781139020916

Otra buena referencia para este punto de vista es el libro de Annett: https://global.oup.com/academic/product/superconductivity-superfluids-and-condensates-9780198507550

Para ser un poco exigente, creo que la función de onda BCS solo es válida para interacciones muy débiles entre fermiones, que no los unen en bosones compuestos. Sin embargo, todavía muestra la estructura básica de cómo puede tener algo que se condense sin violar la exclusión de Pauli.
Sé que esta es una publicación anterior, pero ¿dónde puedo obtener más información sobre esta aproximación de "el estado BCS como un estado propio del par Cooper"? Hice una pregunta sobre esto hace algunos meses ( aquí ), pero aún no he recibido una respuesta. Le agradecería si pudiera dar su oportunidad de responderla.
@LucasBaldo ¿Leíste las respuestas vinculadas por el comentario a la pregunta anterior ? No puede probar que el estado BCS es un estado propio del operador de aniquilación porque no lo es en sentido estricto. Al final todo se reduce a la aproximación N ~ N + 1 para N muy grande. Pero la aproximación del estado BCS como un estado coherente es muy buena y te da acceso a toda la maquinaria de ruptura de simetría.
Gracias. Sí, he leído esas respuestas, pero ninguna de ellas parece mencionar que BCS es un estado propio. Entiendo que el BCS es un estado propio solo en un sentido aproximado, no en un sentido estricto. Sin embargo, no entiendo muy bien la aproximación que hay que hacer. En su comentario, dice que esto está relacionado con que N sea muy grande. Sin embargo, para que el estado BCS tenga una fase bien definida, no puede tener un N bien definido, por lo que no tiene sentido para mí decir que N es muy grande. Por otro lado, si consideramos el estado BCS de N bien definido, entonces la fase no está bien definida.
En otras palabras, me gustaría derivar matemáticamente esta ecuación aproximada, pero actualmente no puedo hacerlo. ¿Conoces fuentes donde pueda encontrar esta derivación?
Estado fundamental de bosones compuestos y que no interactúan en una red
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