¿Por qué los bosones compuestos forman un BEC?

Un estado enlazado de dos fermiones es, entre otras cosas, un estado en el que los dos fermiones están muy entrelazados entre sí, en el sentido de que el operador de creación de estado enlazado no se puede factorizar en un producto de dos operadores de creación de fermiones. En este sentido, el enredo es la clave.

Dejar$a_n^\dagger$y$a_n$denotan los operadores de creación y aniquilación para un fermión en el$n$th modo (donde "modo" representa el impulso, el giro, la carga y cualquier otra etiqueta distintiva).

Ahora, supongamos que tenemos un estado ligado de dos fermiones. El operador que crea uno de estos bosones compuestos ("átomos") tiene la forma

$$b^\dagger(f)=\sum_{n,m}f(n,m)a_n^\dagger a_m^\dagger \tag{1}$$ para alguna función de valor complejo$f$. Los operadores de creación de fermiones se anticonmutan entre sí (principio de exclusión de Pauli), por lo que aplicando$a_n^\dagger a_m^\dagger$dos veces daría cero. Más generalmente, usando la abreviatura $$a^\dagger(g) = \sum_n g_n a_n^\dagger, \tag{2}$$ aplicando$a^\dagger(g)a^\dagger(h)$dos veces daría cero. pero aplicando$b^\dagger(f)$dos veces no da cero, porque hay términos cruzados en los que los cuatro subíndices son distintos. El número de veces que podemos aplicar$b^\dagger(f)$está limitado sólo por el número de índices distintos en$a_n^\dagger$. Desde$n$es ingenuamente un índice continuo (incluye el momento o el grado de libertad de ubicación), podría parecer que no hay límite en absoluto en el número de estos átomos que podemos poner en el mismo "estado"$f$.

Sin embargo, no es del todo correcto tratar el índice$n$como si tuviera un número infinito de valores permitidos, porque decir que el átomo tiene un tamaño finito es como poner los fermiones en una caja, lo cual (en un sentido estricto) es como restringir sus momentos a un número discreto lista. Y los momentos no pueden ser arbitrariamente grandes, porque el átomo solo tiene una cantidad finita de energía. Esto limita efectivamente$n$a un conjunto finito de valores, que a su vez limita efectivamente el número de estos átomos que podemos apilar en el mismo estado$f$. El espacio entre los momentos discretos disminuye con el aumento del tamaño de la "caja" (el tamaño de la función de onda del estado ligado, incluida su dispersión del centro de masa), por lo que el efecto "repulsivo" que debe limitar el número de átomos (debido a a las interacciones que he estado despreciando hasta ahora) es más débil si la función de onda del átomo está más dispersa. Este fue solo un argumento heurístico, pero parece consistente con la declaración citada en el OP.

Arriba, usé un solo índice discreto$n$sólo por simplicidad de notación. Para ser un poco más explícito, en lugar de escribir$a_n^\dagger$, podríamos escribir$a_n^\dagger(x)$para el operador que crea un solo fermión en la ubicación$x$. (Esto está bien en la aproximación no relativista). Ahora el índice$n$se utiliza sólo para todos los demás grados de libertad, los que no se han tenido ya en cuenta por$x$. Con esta notación más amplia, podemos escribir el operador de creación de átomos como

$$b^\dagger(f,\psi)=\int dx\,\psi(x)\int dy\, \sum_{n,m}f_{n,m}(y) a^\dagger_n(x+y)a^\dagger_m(x-y) \tag{3}$$ La forma en que esto está escrito,$f$es el estado "interno" y$\psi(x)$es la función de onda del centro de masa del átomo. Entonces$(b^\dagger(f,\psi))^2\neq 0$. Esto dice que matemáticamente podemos crear un estado con dos de estos átomos, ambos idénticos en la función de onda$\psi$y en el estado interno$f$, a pesar de$(a^\dagger_n(x))^2=0$.

Usando esta notación expandida, aquí hay otro argumento heurístico que lleva a la misma conclusión. Supongamos que un solo átomo tiene "volumen"$v$, en algún sentido. Entonces, dentro de un volumen total$V$, podríamos empacar$\sim V/v$de estos átomos localizados uno al lado del otro, sin superponerse mucho. Es posible que no lo llamemos BEC, porque colocamos todos los átomos en diferentes ubicaciones para evitar la superposición. Pero ahora supongamos que$\psi_1(x),\psi_2(x),...$son las funciones de onda de esos átomos individuales que no se superponen, y considere la función de onda

$$\psi(x)=\sum_k \psi_k(x) \tag{4}$$ con$\sim V/v$términos en la suma, y ​​considere el operador de creación de un solo átomo (3) con esta elección de$\psi$. Aplicar$\sim V/v$las copias de este operador al estado de vacío darán un resultado distinto de cero que es equivalente al estado que se acaba de describir, en el que empaquetamos los átomos uno al lado del otro ; pero en esta nueva descripción diríamos que todos los átomos están en el "mismo estado", porque construimos el estado aplicando un montón de copias del mismo operador de creación.

Los argumentos anteriores ignoraron las interacciones, aparte de la suposición de que dos fermiones forman un estado ligado. Si incluimos interacciones, aún podemos construir un vector de estado aplicando un montón de copias del mismo operador de creación de un solo átomo al estado de vacío, pero el estado resultante no será necesariamente una buena aproximación a un BEC real si el número de aplicaciones de$b^\dagger$es largo. Un BEC real debe involucrar algún tipo de efecto que finalmente compense el hecho de que aplicar demasiadas$b^\dagger$s finalmente dará cero, cuando se agoten los términos cruzados. El estado$(b^\dagger)^N|0\rangle$podría considerarse mejor como un componente del verdadero estado BEC, constituyendo la mayor parte del verdadero estado BEC cuando$N\ll V/v$(BEC diluido) pero contribuyendo cada vez menos al verdadero estado BEC cuando$N$es cada vez más grande. antes de llegar$N\sim V/v$, las interacciones que he estado descuidando se volverán significativas, de modo que la transición entre poder poner muchos átomos en un estado idéntico y no poder poner demasiados en ese estado será una transición suave.

El punto del simple análisis de la parte posterior del sobre era solo mostrar que podemos apilar un grupo de bosones compuestos en el mismo estado sin ninguna excitación significativa, siempre que el BEC esté lo suficientemente diluido.

La mejor manera (creo) de ver esto es el método de la teoría del campo efectivo.

Cuando dos átomos (fermiónicos) forman un bosón compuesto, el estado resultante es muy complicado. La molécula está hecha de átomos, los átomos están hechos de núcleos y electrones, los núcleos están hechos de neutrones y protones, los neutrones y protones están hechos de quarks y gluones (y por lo que sabemos, los quarks pueden ser compuestos o excitaciones de componentes fundamentales). instrumentos de cuerda). Todas estas partículas tienen diferentes estadísticas y tienen excitaciones internas complicadas. Estrictamente hablando, por ejemplo, la función de onda de los quarks en un neutrón en un átomo debe estar antisimetrizada con todos los quarks en cualquier neutrón o protón en el otro átomo.

Claramente, no sabemos cómo hacer esto correctamente. Pero sabemos que a muy baja resolución (baja energía, larga distancia, baja densidad) el bosón compuesto es solo un campo bosónico puntual, y el lagrangiano más general para tal campo es

$${\cal L} = \psi^\dagger\left( -\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m^*}-\mu + V_{ext}(x) \right)\psi + \ldots .$$ Este lagrangiano describe la condensación de Bose a la temperatura de Einstein, como un gas de Bose verdaderamente puntual, pero posiblemente con una masa modificada$m^*\neq 2m$. Si sabemos cómo calcular la energía de enlace de la molécula, podemos calcular este cambio.

¿Qué pasa con el hecho de que el bosón es compuesto? De acuerdo con las reglas de la teoría del campo efectivo, esto debe codificarse en términos de orden superior en el lagrangiano. El siguiente término es una interacción.

$${\cal L} = C_0 (\psi^\dagger\psi)^2 + \ldots$$ Intuitivamente, esto tiene sentido. Si el bosón compuesto está hecho de fermiones, los bosones deberían notar el requisito de antisimetrización si se acercan, y debería reflejarse en una repulsión efectiva.

Aprendemos dos cosas más que son útiles: 1) El término de interacción se puede relacionar con la longitud de dispersión del bosón compuesto. Esto significa que podemos cuantificar el efecto de la composición, ya sea calculando o midiendo la sección transversal de dispersión. 2) Podemos calcular, en teoría de perturbaciones, el efecto de$C_0$sobre el estado condensado de Bose y la temperatura crítica para la condensación de Bose-Einstein. Esto se ha estudiado con cierto detalle y se describe en libros de texto sobre física corporal. el cambio en$T_c$es

$$\Delta T_c = 1.3 an^{1/3} T_c^{0}$$ dónde$T_c^0$es la temperatura de Einstein,$n$es la densidad de los bosones, y$a$es la longitud de dispersión bosón-bosón. Si este cambio se vuelve grande (de orden 1), entonces sabemos que la composición es un$O(1)$efecto, y la EFT para los bosones debe descartarse. Tenemos que estudiar el problema usando un EFT para fermiones (puntuales).

Por supuesto, los fermiones también son compuestos. Se aplica de nuevo la misma lógica. En orden de avance, los efectos de la composición se codifican en masas y parámetros de interacción.

El resultado citado anteriormente identifica el parámetro$an^{1/3}$que gobierna la aproximación de tratar el bosón como un punto. Tenga en cuenta que$1/n^{1/3}$es la distancia típica entre los bosones. Esto significa que el parámetro de expansión es la relación entre la longitud de la interacción y la distancia promedio.