Espacios físicos de Hilbert fermiónicos y bosónicos: ¿son realmente espacios de Hilbert?

Considere dos partículas idénticas A y B . El espacio combinado de Hilbert H A ⊗ H B es un espacio de Hilbert válido. Pero, ¿qué pasa con los espacios físicos de Hilbert?

(Bosones) H A ⊙ H B = Durar { | i ⟩ ⊗ | j ⟩ + | j ⟩ ⊗ | i ⟩ }
(fermiones) H A ∧ H B = Durar { | i ⟩ ⊗ | j ⟩ − | j ⟩ ⊗ | i ⟩ }
¿Cómo hacemos para demostrar que son espacios de Hilbert válidos (si es que lo son)?

Es trivial mostrar que son espacios de productos internos, pero no sabría por dónde empezar para mostrar la integridad.

Respuestas (1)

Los espacios (anti-)simetrizados son el cociente del espacio del producto tensorial completo H ⊗ H (dado que las partículas son idénticas, estoy colocando el subíndice en los espacios) por un subespacio cerrado, y el cociente de un espacio de Hilbert por un subespacio cerrado es nuevamente un espacio de Hilbert, cf. por ejemplo, esta pregunta de math.SE.

Lo que queda es justificar la afirmación de que estamos cocientes por un subespacio cerrado (o "completo"). En el caso del espacio anti-simetrizado, estamos cociente por el ideal I generado por elementos de la forma v ⊗ v para todos v ∈ H . Los elementos de este ideal tienen la forma ∑ i ( v i ⊗ v i ) , y si existe un límite de esto, será de la forma v ⊗ v para v = límite i → ∞ v i , que es claramente de nuevo un elemento del ideal, por lo que el ideal está cerrado. Un razonamiento muy similar funciona para el ideal que tenemos que dividir en el caso simétrico.

Hmm, ¿qué pasa con la justificación inicial de que el producto tensorial de los espacios de Hilbert es en realidad un espacio de Hilbert?
@MoziburUllah El producto tensorial de los espacios de Hilbert se define como la finalización del espacio de producto interno que se obtiene del producto tensorial ordinario de espacios vectoriales, cf. en.wikipedia.org/wiki/Tensor_product_of_Hilbert_spaces , es decir, es un espacio de Hilbert por definición.
Espacios físicos de Hilbert fermiónicos y bosónicos: ¿son realmente espacios de Hilbert?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v