Una pregunta sobre el operador de espín relativista

La respuesta se basa en la siguiente Ref (capítulo$V$, paginas$5,6$)

Por operador de espín relativista, creo que esto significa que uno está buscando una expresión para un$3$operador dimensional$\vec S$, como$S^2 = \frac{1}{m^2} W^\mu W_\mu$(Aquí ,$W_\mu$es el (pseudo)cuatro-vector de Pauli-Lubanski) con el habitual$SU(2)$relación de conmutación para el$S_i$. Entonces$S^2$es la razón de dos Casimiros y debe conmutar con todos los generadores.

Con algunas suposiciones adicionales, que el$\vec S$transformar como un (pseudo) vector (ecuación$(74)$página$5$de la Ref), y que el$\vec S$conmutar con el operador momenta, uno es capaz de encontrar alguna expresión para el operador$\vec S$(ver fórmulas$(75),(76),(77)$página$5$de la referencia).

La Transformación de Lorents no es trivial para$\vec S$, ver fórmula$(92)$página$6$de la ref.

La dificultad de etiquetar los estados usando$J ^2$es de hecho porque no es un buen número cuántico en diferentes marcos de referencia.

Al exigir que el operador,${\cal O}$, desea describir los viajes diarios de sus estados con el hamiltoniano, requiere que

$$\begin{equation} \left[ P ^0 , {\cal O} \right] = 0 \end{equation}$$ Sin embargo, ${\cal O}$puede no ser el mismo en diferentes valores de momentos (es decir, no es una buena etiqueta si queremos considerar marcos diferentes). En QFT queremos estados que puedan describirse en todos los marcos de referencia. Así requerimos $$\begin{equation} \left[ P ^\mu , {\cal O} \right] = 0 \end{equation}$$ En su caso, el operador $J ^2$no conmuta con los componentes espaciales de los momentos, $$\begin{equation} \left[ P ^i , J ^2 \right] \neq 0 \end{equation}$$ por lo que no es una etiqueta útil en una teoría relativista. Tenga en cuenta que si los valores propios de $P _i$son muy pequeños se puede demostrar que $J^2$de hecho, conmuta con los momentos, por lo que es una buena etiqueta en Mecánica Cuántica.

En su lugar, puede ampliar la idea de$J^2$a$W_\mu W ^\mu$como lo menciona Trimok.