¿Cómo se pueden calcular los orbitales ddd reales a partir de orbitales complejos?

Recientemente completé el curso de mecánica cuántica 8.04 del MIT en edX y he estado escribiendo código Python para calcular orbitales de electrones similares al hidrógeno, básicamente solo por diversión. Mi programa calcula los estados propios basados ​​en$n$,$l$, y$m$y usa el paquete de gráficos mayavi 3D para trazarlo.

Mi pregunta se refiere a calcular el$s$,$p$,$d$, y$f$orbitales en bases reales por superposición de los autoestados (complejos). Encontré cómo hacer esto para$p_x$y$p_y$y funciona según lo previsto.

$$p_z = p_0 \\ p_x = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(p_1 + p_{-1} \right) \\ p_y = \frac{1}{i\sqrt{2}} \left( p_1 - p_{-1} \right)$$

Entonces, ¿cómo se hace algo análogo para calcular$d_{z^2}$,$d_{xz}$,$d_{yz}$,$d_{xy}$, y$d_{x^2-y^2}$? Al mirar algunas tablas y observar patrones, supongo que debo hacer:

$$d_{z^2} = d_0 \\ d_{xz} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(d_1 + d_{-1} \right) \\ d_{yz} = \frac{1}{i\sqrt{2}} \left( d_1 - d_{-1} \right)\\ d_{xy} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(d_2 + d_{-2} \right) \\ d_{x^2 - y^2} = \frac{1}{i\sqrt{2}} \left( d_2 - d_{-2} \right)$$

y de manera similar para el$f$orbitales con$m = \pm 1, 2, 3$.

Gracias por cualquier aclaración sobre esto. No hay nada importante en juego, pero espero entender cómo funciona esto.