Estado coherente, operadores unitarios, oscilador armónico

Hay muchas maneras de evitar esto. Puedes partir de los estados coherentes y aplicar el unitario$\hat{O}$directamente sobre ellos. Eso no será tan simple porque obtendrá un término$\hat{O}e^{\alpha\hat{a}^\dagger}e^{\beta\hat{b}^\dagger}$. Ahora, el enfoque típico sería intercambiar el orden de los operadores para obtener algo como$e^{\alpha\hat{a}^\dagger}e^{\beta\hat{b}^\dagger}\hat{O}$(hasta algún término extra debido al conmutador). Esta no es realmente una tarea simple, pero una vez que haya terminado, puede Taylor expandir el operador$\hat{O}$y mantenga solo el orden cero (todos los demás términos contienen operadores de aniquilación que actúan sobre el vacío). No voy a profundizar más en el cálculo, hay muchas formas de hacerlo y ninguna es realmente agradable.

Pero hay una mejor manera. Puede definir un operador de desplazamiento por la acción$\hat{D}(\alpha)|0\rangle = |\alpha\rangle$y luego tienes$\hat{D}(\alpha)\hat{a}\hat{D}^\dagger(\alpha) = \hat{a}+\alpha$. Puede combinar esto con las fórmulas para$\hat{O}\hat{a}\hat{O}^\dagger$,$\hat{O}\hat{b}\hat{O}^\dagger$para ver cómo se transforman los operadores de aniquilación. Lo que debería obtener es una división del haz de los dos estados coherentes, es decir,

$$|\alpha,\beta\rangle\to|t\alpha+r\beta,t\beta-r\alpha\rangle$$ , dónde $t = \cos\theta$, $r = \sin\theta$.

Cambiemos la notación de OP$a\to a_1$y$b \to a_2$. Escribimos colectivamente los dos operadores de aniquilación como una columna de dos vectores

$$\tag{1} \vec{a}~:=~\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix}.$$

Tenemos el álgebra de Heisenberg

$$\tag{2} [a_i,a_j^{\dagger}] ~=~\delta_{ij} {\bf 1}, \qquad [a_i,a_j] ~=~0, \qquad [a_i^{\dagger},a_j^{\dagger}] ~=~0,\qquad i,j~\in~\{1,2\},$$

y el estado de vacío

$$\tag{3} a_i | 0\rangle ~=~0.$$

Definir estados coherentes no normalizados

$$\tag{4} |\vec{\alpha} )_a ~:=~ e^{ a^{\dagger}_i \alpha_i} | 0\rangle .$$

La idea ahora es diagonalizar el${\cal O}$operador. Definir matriz unitaria

$$\tag{5} U ~:=~\frac{\sqrt{2}}{2} \begin{bmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{bmatrix}~=~ \exp\left[i\frac{\pi}{4}\sigma_x \right] .$$

Definir nuevos operadores

$$\tag{6} b_i ~:=~ U_{ij} a_j, \qquad [b_i,b_j^{\dagger}] ~=~\delta_{ij} {\bf 1},$$

y nuevas etiquetas continuas coherentes

$$\tag{7} \beta_i ~:=~ U_{ij} \alpha_j.$$

Definir estados coherentes no normalizados

$$\tag{8} |\vec{\beta} )_b ~:=~ e^{ b^{\dagger}_i \beta_i} | 0\rangle~=~ e^{ a^{\dagger}_i \alpha_i} | 0\rangle~=~|\vec{\alpha} )_a .$$

Tenga en cuenta que el operador se convierte en diagonal

$$\tag{9} {\cal O}~:=~ \exp\left[i\theta a^{\dagger}_i (\sigma_y)_{ij} a_j\right] ~=~ \exp\left[i\theta b^{\dagger}_i (\sigma_z)_{ij} b_j\right] ~=~ \exp\left[i\theta (n_1-n_2)\right],$$

donde se leen los operadores numéricos

$$\tag{10} n_i~:=~b^{\dagger}_i b_i \qquad\text{(no sum over $i$).}$$

A continuación, deducir las relaciones de conmutación

$$\tag{11} \exp\left[i\theta n_i\right]\exp\left[b^{\dagger}_i \beta_i \right]~=~\exp\left[b^{\dagger}_i \beta_i e^{i\theta} \right]\exp\left[i\theta n_i\right] \qquad\text{(no sum over $i$).}$$

Concluimos de (11) que

$$\tag{12} {\cal O}|\beta_1, \beta_2 )_b ~=~|\beta_1e^{i\theta}, \beta_2e^{-i\theta} )_b.$$

Dejamos como ejercicio traducir (12) de nuevo a normalizado$a$-estados coherentes.

En realidad, el operador que tiene está estrechamente relacionado con el momento angular. De hecho, puede verificar que los operadores

$$b^\dagger a \mapsto L_+\, ,\qquad a^\dagger b\mapsto L_-\, ,\qquad \frac{1}{2}(b^\dagger b-a^\dagger a) \mapsto L_z$$ satisfacer las mismas relaciones de conmutación que los operadores de momento angular. En esta notación, el estado más bajo de momento angular$s$es el estado del oscilador armónico 2d $$\frac{(a^\dagger)^{2s}}{\sqrt{(2s)!}}\vert 0\rangle\to \vert s,-s\rangle$$ y en particular $$a\vert 0\rangle \mapsto \vert \textstyle \frac{1}{2},-\frac{1}{2}\rangle\, ,\\ b\vert 0\rangle\mapsto \textstyle \frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle\, .$$ En general $$\frac{(a^\dagger)^{s-m} (b^\dagger)^{s+m}}{\sqrt{(s-m)!(s+m)!}}\vert 0\rangle \mapsto \vert s,m\rangle\, .$$ Así su operador $$a^\dagger b-b^\dagger a\mapsto L_--L_+ =L_x-iL_y-(L_x+iLy)=-2iL_y$$ para que puedas pensar en$O$como la rotación$e^{-2i\theta L_y}$.

Ahora, los estados coherentes

$$\begin{align} \vert\alpha\rangle \vert\beta\rangle&= \sum_{p,q}\frac{\alpha^p \beta^q}{p! q!} (a^\dagger)^p(b^\dagger)^q\vert 0\rangle \\ &\mapsto \sum_{p,q}\frac{\alpha^p \beta^q}{p! q!} \vert \textstyle\frac{1}{2}(p+q),\frac{1}{2}(p-q)\rangle \\ \end{align}$$ dónde$\vert \textstyle\frac{1}{2}(p+q),\frac{1}{2}(p-q)\rangle$es un estado de momento angular con$s= \textstyle\frac{1}{2}(p+q)$y$m_s=\frac{1}{2}(p-q)\rangle$. De este modo $$\begin{align} O\vert\alpha\rangle \vert\beta\rangle &\mapsto \sum_{sm_s}\frac{\alpha^{s-m_s} \beta^{s+m_s}}{(s+m_s)! (s-m_s)!} e^{-i2\theta L_y}\vert \textstyle s,m_s\rangle\, ,\\ &=\sum_{sm_s}\frac{\alpha^{s-m_s} \beta^{s+m_s}}{(s+m_s)! (s-m_s)!} \sum_{m_s'} \vert s,m_s'\rangle d^s_{m_s',m_s}(2\theta) \end{align}$$ dónde$d^s_{m_s',m_s}(2\theta)$es un wigner$d$-función . Queda por volver a convertir$\vert s,m_s'\rangle$a los estados del oscilador armónico.

Finalmente, la solución se simplifica muy bien si su estado inicial es$\vert 0\rangle \vert\beta\rangle$o$\vert \alpha \rangle \vert 0\rangle$. En tales casos, las funciones$d^s_{m_s',\pm s}(2\theta)$tienen una forma razonablemente simple, que no contiene sumatoria.