Estadística de Fermi-Dirac vs. Estadística de Maxwell Boltzmann en sistemas de excitación atómica de láseres

En los láseres, al relacionar los coeficientes de Einstein con la densidad de energía (que depende de la frecuencia) obtenemos,

tu ( v ) = B A mi h v k B T − 1
Dónde B es el coeficiente de emisión espontánea y A es el coeficiente de emisión estimulada.

Además, relacionamos esta densidad de energía con la fórmula de planck de la densidad de energía de la radiación del cuerpo negro, que es

tu ( v ) = 8 ( π ) h v 3 C 3 mi h v k B T − 1
Mientras hacemos todo esto, asumimos la inversión de población (para un sistema de dos estados) y asumimos que los átomos del gas se comportan de una manera Maxwell-Boltzmanniana. Esto sería cierto porque los átomos excitados siguen las estadísticas de Maxwell-Boltzmann. Deje que el estado fundamental tenga una energía mi 1 y una población norte 1 y el primer estado excitado tiene una energía mi 2 y una población norte 2 , entonces los relacionamos por
norte 2 norte 1 = mi − h v k B T
Mi pregunta es la siguiente: La excitación puede ser de diferentes formas, atómica, térmica, etc; pero cuando hablamos de excitación atómica, debemos abordar los electrones excitados dentro de los átomos y, de ahora en adelante, introducir el concepto de espín porque los electrones son fermiones que obedecen el principio de exclusión de Pauli, entonces, ¿cómo podemos relacionar la población de electrones en los estados fundamental y excitado? de una manera MB-ian. ¿No tenemos que usar las estadísticas de Fermi-Dirac aquí? Si usamos estadísticas FD, entonces, ¿con qué densidad de energía relacionaríamos la densidad de energía de los coeficientes (porque no podemos relacionarla con la densidad de energía de radiación del cuerpo negro de Planck)?

Tengo a continuación mis reflexiones:

norte 2 norte 1 = 1 mi − mi F + mi k B T + 1

Dónde

− mi F + mi k B T = − [ 3 norte π ] 2 3 h 2 8 metro + h v k B T

Donde defino una función γ que varía con la frecuencia como

γ ( v ) = − [ 3 norte π ] 2 3 h 8 metro + v

tu ( v ) = B 21 A 21 1 A 12 A 21 1 mi γ ( v ) h k B T + 1

A 12 A 21 = α
Ahora multiplicando el numerador y el denominador por α Obtuve una ecuación que usé para comparar con la densidad de energía de radiación BB de Planck.

tu ( v ) = B 21 A 21 α 1 α 2 mi γ ( v ) h k B T − [ − α 2 + α ]

Ahora, al comparar la fórmula anterior con la densidad de energía de radiación BB, obtuve B 21 A 12 α = 8 ( π ) h v 3 C 3 y − α 2 + α = 1 Esta ecuación cuadrática produce dos raíces reales y al comparar α 2 = 1 obtenemos en total tres posibles valores de alpha,Ie

Caso uno: α = 1.618

Caso dos: α = − 0.618

Caso tres: α = 1

Ahora usando esto en la expresión de densidad de energía obtuve Let B 21 A 21 = β

Caso uno:

tu ( v ) ≈ β 1 mi γ ( v ) h k B T + 0.5 + mi − 0.5

Caso dos:

tu ( v ) ≈ β 1 mi γ ( v ) h k B T − 0.5 + mi 0.5

Caso tres:

tu ( v ) = β 1 mi γ ( v ) h k B T
Introducción de otro término ϵ , que es el potencial químico del sistema que observamos,
γ ( v ) = − mi F + v − ϵ
El caso tres cambia como
tu ( v ) = β 1 mi ( − mi F + v − ϵ ) h k B T
Ahora la aproximación en serie de Taylor de e^x es
mi X = 1 + X 1 ! + X 2 2 ! + . . . ≈ 1 + X
A bajas frecuencias
γ ( v ) h k B T << 1
mi ( − [ 3 norte π ] 2 3 h 8 metro + v − ϵ ) h k B T ≈ ( − mi F + v − ϵ ) h k B T + 1
Por lo tanto, la densidad de energía se convierte en

tu ( v ) ≈ β k B T ( − mi F + v − ϵ ) h + k B T

Comparando esto con la densidad de energía de radiación BB de Planck,

h v k B T + 1 = ( − mi F + v − ϵ ) h k B T + 1
Por eso digo que
mi F α − ∂ tu ∂ norte
donde el último término es ϵ , esto es cierto porque el potencial de Millikan (potencial químico de un electrón), existe una dependencia similar entre la energía de Fermi y el potencial químico.

Estoy un poco confundido por algunas de las cosas que has dicho aquí. Pero creo que el problema es este: la derivación habitual de los coeficientes de Einstein idealiza el átomo como un sistema de dos estados, y en tal sistema las estadísticas de Fermi no juegan ningún papel. Un átomo real no es un sistema de dos estados y, en algunos casos, la exclusión de Pauli podría afectar las transiciones que son posibles. De hecho, esto modificaría la teoría, pero debería ser de una manera directa (básicamente simplemente cambiando la degeneración de una transición dada). ¿Estoy al menos entendiendo tu pregunta?
@Rococo Sí, es solo que cuando consideramos la excitación atómica, debemos considerar el giro de los electrones, lo que traería estadísticas de FD en lugar de las estadísticas de MB utilizadas para describir la población de electrones. Por lo tanto, cuando lo hacemos, ¿cómo podemos reducir la fórmula obtenida para la densidad de energía (cuando igualamos la tasa de absorción a la tasa de emisión) a la densidad de energía de Planck para la radiación BB?

Respuestas (1)

Sus estados 1 y 2 son estados de un átomo , es decir, el núcleo y todos los electrones unidos tomados en conjunto y, en consecuencia, su etiquetado ya debería estar tomando las estadísticas de Fermi de electrones en un solo átomo. En otras palabras, no dices "el átomo a está en el estado 1 dos veces", dirías "excité un electrón para poner el átomo en el estado 2 y luego excité un segundo para ponerlo en algún otro estado 3" y este esquema de etiquetado simplemente no se molesta en incluir el estado prohibido por el principio de exclusión.

Si los electrones en estados relevantes para la transición láser están fuertemente localizados (que en un gas lo estarán), entonces nunca surge la cuestión de dos electrones de diferentes átomos que intentan ocupar el mismo estado y, en este caso, las estadísticas de Fermi-Dirac se reducen a Maxwell -Estadísticas de Boltzmann. En otras palabras, puedo tratar a los electrones como distinguibles porque puedo decir que uno está en el átomo en la posición X mientras que uno está en el átomo en la posición y .

por el etiquetado 12 y 21 quiero decir que el electrón ha pasado del estado uno al estado dos y el electrón ha pasado del estado dos al estado uno respectivamente. He hecho esto porque los coeficientes de Einstein mencionan la direccionalidad de los electrones ya que en las emisiones espontáneas y estimuladas, el electrón pasa del estado dos al estado uno. He editado y agregado mis reflexiones, por favor, eche un vistazo y comente sus pensamientos. ¡Y gracias!
No estoy seguro de lo que quieres decir aquí. Las estadísticas de Fermi-dirac describen las estadísticas de los números de ocupación del estado, no las transiciones entre ellos. La única forma en que efectúa las transiciones es prohibiendo ciertos estados finales y alterando las poblaciones de equilibrio.
Me refiero exactamente a lo que estás diciendo porque estoy hablando del cambio en las poblaciones de equilibrio y su distribución en los niveles (ya que debido al principio de exclusión, la distribución se alteraría). Por lo tanto, ¿no deberíamos usar la función de distribución FD en lugar de la función de distribución MB cuando hablamos de excitaciones atómicas o más bien cuando introducimos espín? Aquí asumí un sistema simple de dos niveles y realicé mis cálculos.
OK, mi punto era que los estados en diferentes átomos son distinguibles, por lo que las estadísticas de MB son correctas en este caso y cuando considero un solo átomo, si excito el átomo dos veces, no aumento la población del estado de mayor energía en 2, pongo el átomo en un estado totalmente diferente no incluido en la imagen de dos niveles, y las estadísticas de Fermi ya se han tenido en cuenta al escribir una lista de los estados atómicos permitidos.
Entonces, ¿cómo se ve esa ecuación? ¿Podría por favor aclararme algo sobre eso y también enviarme un enlace si es posible? ¡Gracias!
Estoy argumentando que el enfoque estándar en cada libro de texto es correcto. ¿Qué ecuación quieres exactamente?
Acerca de considerar la función FD para un sistema de nivel (átomo) con excitación atómica.
Eso sería toda la física atómica.
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