¿Está la masa de un agujero negro en alguna parte?

En relatividad general, en general la masa y la energía no están bien definidas globalmente ya que no se conservan . Entonces, la pregunta en cierto sentido no tiene sentido en general, pero los agujeros negros pueden ser una excepción... excepto que la ubicación de la masa sigue siendo dudosa.

Localmente todo está bien: el flujo local de masa y energía está descrito por el tensor de tensión-energía, y hay conservación de energía localmente . Globalmente, no hay una buena manera de definir la masa globalmente, por lo que se conserva, en general . El problema fundamental es que la energía obtiene su conservación a partir de la invariancia de traslación del tiempo, y los espacio-tiempos generales no tienen esa simetría.

¡Pero el espacio-tiempo de Schwarzschild sí! Eso significa que uno puede definir la masa de Komar . De hecho, se puede calcular integrando una integral de volumen y produce la respuesta "correcta". Pero el volumen se extiende hasta el infinito espacial . Hacer medidas "cuasi-locales" parece complicado.

Tenga en cuenta que un objeto material que colapsa y se convierte en un agujero negro de Schwarzschild parece poner toda la masa en$r=0$. Pero este es un espacio-tiempo dinámico, por lo que la masa de Komar no se define hasta después del final del colapso, no durante el mismo.

¿A dónde nos lleva esto? Si dice que "cantidad de masa-energía" es una medida de algo conservado relacionado con el tensor de tensión-energía, entonces es claramente cero en la métrica de Schwarzschild. Las medidas de masa relativistas son todas globales y no corresponden a ningún "dónde" de la masa. No tengo idea de todas las medidas casi locales.

Al final, tal vez uno debería dar la vuelta a la pregunta: ¿importa?

Creo que es mejor entender esto pensando en la forma en que se establece la curvatura antes de que se forme el agujero negro. La ecuación de Einstein es en gran medida un tipo de ecuación local de causa y efecto. La curvatura del espaciotiempo se establece en cada evento por la materia en ese evento y por la naturaleza continua del espaciotiempo; la forma en que se conecta con las regiones vecinas. En particular, la curvatura del espacio-tiempo en la vecindad de alguna masa se produce de esta manera. Si la masa colapsa dentro de un horizonte de sucesos, la curvatura fuera del horizonte se mantiene porque el espacio-tiempo tiene el tipo de continuidad que describe la ecuación de campo. Cada región del espacio-tiempo, por así decirlo, mantiene a las regiones vecinas en una especie de "tensión" (hablando libremente). El papel de la singularidad en todo esto es anunciar que ' aquí la descripción que ha estado usando se queda sin validez'. ¿Asi que que hacemos? Observamos que la solución de Schwarzschild-Droste es de hecho una solución a la ecuación de campo, por lo que conjeturamos que describe el espacio-tiempo en la región donde se encuentra (es decir, en todas partes excepto en la singularidad).

Lo principal a tener en cuenta, en relación con la pregunta formulada, es que la masa que causó o actuó como fuente de la situación en el espacio-tiempo en cualquier evento dado es la masa en el cono de luz pasado de ese evento. Pero la singularidad no está en el pasado de ningún evento. Por lo tanto, no necesita involucrar la singularidad para comprender cómo el espacio-tiempo adquirió cualquier curvatura que tenga. Otra forma de decirlo es decir que "la masa del agujero negro" es esa parte de la masa total en el pasado cono de luz de un observador dado que el observador elige asociar con el agujero negro en lugar de algún otro objeto.

Este tipo de argumento también es válido para la gravitación en general. La "masa del Sol", en lo que respecta a nosotros en la Tierra, es la masa que tenía hace 8 minutos.

Una pregunta relacionada que también puede ayudar:

si dejo caer una masa en un agujero negro, ¿la gravedad del agujero negro será asimétrica antes de que la masa alcance la singularidad?

Lo que está viendo en diferentes respuestas es, hasta cierto punto, diferencias de punto de vista sobre la relevancia de la solución de Schwarzschild en lugar de una respuesta a la pregunta específica que ha hecho. Sin embargo, vale la pena ponerlos en contexto antes de responder a su pregunta específica. La solución de Schwarzschild surge en al menos dos contextos que están relacionados pero son diferentes:

• Es una solución de vacío para las ecuaciones de Einstein, como notó originalmente, en la que hay un parámetro$M$que define una familia de soluciones formales ya las que hemos anexado una interpretación de "masa".
• Surge como un caso limitante para otros procesos, incluidos, entre otros, los procesos de colapso, por largos tiempos, grandes distancias o ambos.

La interpretación del parámetro formal$M$ya que la "masa del agujero negro" probablemente esté más estrechamente relacionada con la segunda bala que con la primera. Para grandes distancias, por ejemplo, el campo gravitatorio de un agujero negro con masa$M$y materia localizada que no puedes resolver con masa total$M$es el mismo. Para Schwarzschild, puede trabajar con variaciones de escenario y el parámetro$M$resultará tal que es "como si" el agujero negro tuviera esa masa. Sin embargo, este sentido de "como si" no es realmente local, porque se trata de mirar el campo gravitatorio a cierta distancia.

Ahora, si observa de cerca, es posible que pueda notar la diferencia entre estos escenarios a escala local. Por ejemplo, si observaste el tiempo suficiente o te acercaste lo suficiente, podrías ver la materia real en un proceso de colapso y luego podrías intentar asignar la ubicación de la masa a la ubicación de la materia correspondiente. Sin embargo, para una verdadera solución de vacío, nunca puede mirar lo suficiente (la solución es estática) o acercarse lo suficiente (hay una singularidad, por lo que cualquier distancia finita es, en cierto sentido, "lejos"). No hay una ubicación real para asignar a esta masa. Es "masa" solo en el sentido (no local) "como si" mencionado anteriormente.

Hay otra forma de ver esto: la razón por la cual la masa aparentemente desaparece para los agujeros negros astrofísicos (es decir, un agujero negro formado por colapso) es que está usando la coordenada de tiempo global "incorrecta" para describir el espacio-tiempo. Si usa la coordenada de tiempo global "correcta", el asunto siempre está ahí, pero evoluciona extremadamente lentamente con respecto a los relojes que funcionan fuera del agujero negro.

Permítanme usar los diagramas de Penrose de un Schwarzschild BH para demostrar mi punto: en la parte superior tiene el diagrama de Penrose más familiar de un agujero negro eterno. El segundo diagrama es el diagrama de Penrose de una estrella colapsando, donde en naranja está la solución interna para el campo gravitatorio interno (sin vacío) dentro de la estrella. Lo que hay que notar es que la punta del "diamante" en la región fuera del agujero negro representa (de una manera compacta) la evolución de todas las curvas orientadas al futuro similares al tiempo como su propio tiempo.$\tau \to \infty$. La punta del diamante es el "fin de los tiempos" para todos los observadores externos.

Si desea una buena coordenada de tipo temporal, debe elegir hipersuperficies similares al espacio. Las hipersuperficies similares al espacio no se doblan más de 45 grados en un diagrama de Penrose. Esto significa, en particular, que la$t=const.$las hipersuperficies no son globalmente espaciales, se vuelven nulas en el horizonte. Esto significa que el Schwarzschild$t$es una mala coordenada y debemos elegir una nueva. Hay una manera de elegir una coordenada de tiempo$T$($T=const.$superficies en cian) tal que

1. La singularidad coordinada no ocurre en su división de tiempo hasta "el final de los tiempos" para los observadores externos, y
2. las superficies$T = const.$siempre contienen materia!

Entonces, ¿dónde está el problema? ¡Hay perspectivas de las que nunca se fue!

La singularidad es un momento en el futuro, por lo que la masa de los agujeros negros existe en el futuro. Dado que el espacio y el tiempo están conectados, preguntar dónde está no tiene ningún sentido. Una pregunta mejor (y más correcta) es: ¿cuáles son las coordenadas espacio-temporales de este objeto?

Este es un comentario largo:

Como todos sabemos, la geometría euclidiana fue "descubierta" y fue la forma en que, lentamente, se desarrollaron las observaciones de la naturaleza mediante el mapeo de la tierra con medidas, y la teoría dio la posibilidad de predecir distancias y tiempos de viaje, además de un estándar de Cálculo de áreas invariantes de la tierra. Ha sido extremadamente útil.

¿Dónde está la masa de la tierra en esta teoría? Sabemos que es una teoría local y que la masa de la tierra es irrelevante para los cálculos particulares.

PERO sabemos por observación que es la geometría esférica la que realmente describe la superficie de la tierra. Los axiomas que relacionan las medidas con las matemáticas utilizadas para las predicciones tienen que cambiar a los axiomas de la geometría esférica. La masa de la tierra es relevante solo porque se puede deducir que debería existir para obtener una geometría esférica.

Con la gravedad newtoniana, la masa de la tierra está en la ley, utilizada para relacionar las mediciones con la teoría matemática, de$F=ma$,$F$observado y en la aceleración observada inducida por la masa.

Con la Relatividad General lo que relaciona la infinidad matemáticamente posible de funciones con las medidas de la naturaleza es el tensor de energía de tensión y, en lugar de$F=ma$, es la ecuación de Einstein, que relaciona la métrica del espacio con el tensor tensión-energía.

Ver el enlace para los detalles

En lugar de las simples variables medibles de$F$y$a$en la ley de la gravitación newtoniana, hay expresiones matemáticas complicadas en ambos lados. Esto quiere decir que existe un gran número de posibilidades matemáticas a ambos lados, dependiendo de lo que a uno le interese estudiar. La respuesta aquí dice que para un lado izquierdo específico existen soluciones localmente consistentes para el lado derecho, donde las masas y las energías involucradas no aparecen, en la forma en que la masa de la tierra ni siquiera se imagina en la geometría euclidiana.