¿Está definido el espacio en la relatividad general incluso cuando está desprovisto de energía?

Se dice que la relatividad general es independiente del fondo . ¿Podemos, no obstante, pensar en un espacio completamente vacío (desprovisto de toda energía) como si estuviera equipado con un tejido tridimensional elástico, una cuadrícula cúbica cuyos cubos tienen el mismo tamaño en todas partes mientras permanece vacío y que es ¿la inserción de materia, de energía localizable que distorsiona este tejido localmente, que hace que el espacio-tiempo se curve en su vecindad?

(Aunque se podría decir que como el espacio vacío se llena con una energía de vacío uniforme (cuya densidad calculada es 120 órdenes de magnitud mayor que la que se deduce de las observaciones), no existe espacio vacío; como Einstein no era consciente de la existencia de tal energía en el momento en que formuló su teoría -aunque propuso su existencia -la constante cosmológica- la agregó como una ocurrencia tardía, no como algo esencial para la relatividad general- la pregunta sigue siendo la misma -y el lema de Wikipedia 'argumento del agujero' tampoco es muy claro en esto).

No estoy seguro de por qué esto tiene votos cerrados. Como muestran las respuestas, es una pregunta razonable con una respuesta no trivial.

Respuestas (2)

En relatividad general asumimos que existe una variedad de cuatro dimensiones, y es la solución a la ecuación de Einstein la que nos da la geometría de la variedad. Lo que llamamos espacio-tiempo es la combinación de esta variedad y la métrica.

(Por cierto, hay una muy buena discusión de lo que queremos decir con una variedad en las respuestas a ¿ Qué es una variedad? )

Si tenemos alguna distribución de materia/energía descrita por el tensor de tensión-energía T entonces obtenemos la métrica gramo resolviendo la ecuación de Einstein:

R m v − 1 2 R gramo m v = 8 π GRAMO C 4 T m v

Y si no hay materia o energía presente, esto se simplifica a la ecuación del vacío:

R m v − 1 2 R gramo m v = 0

Y esto tiene una serie de soluciones descritas genéricamente como soluciones de vacío . Aunque la materia-energía es cero en todas partes, estas soluciones aún pueden tener una energía llamada energía ADM . Por ejemplo, el agujero negro de Schwarzschild es en realidad una solución de vacío y el término de masa METRO en la métrica es en realidad la masa ADM. La solución de vacío con energía ADM cero es simplemente espacio-tiempo plano, es decir, la métrica de Minkowski.

Para resumir: si requerimos que el tensor de tensión-energía sea cero en todas partes, y requerimos que la energía ADM sea cero, todavía obtenemos un espacio-tiempo perfectamente bueno, es decir, un espacio-tiempo de Minkowski. La única suposición que hemos hecho es que la variedad existe, pero esta suposición subyace en todo GR. Entonces, la respuesta a su pregunta es que sí, el espacio-tiempo existe incluso en ausencia de materia y energía.

Creo que la solución de Schwarzschild es un ejemplo engañoso de una solución de vacío precisamente porque tiene una masa que no se desvanece (y una singularidad). ¿No serían las ondas gravitacionales un mejor ejemplo?

Además de lo que @John Rennie ya ha explicado, uno puede investigar "desprovisto de energía" en el contexto del modelo FRW. Configuración de las densidades adimensionales Ω i = 0 uno obtiene la solución a ( t ) = H 0 t , lo que significa que los objetos comóviles se están alejando unos de otros con velocidad constante (ya de la segunda ecuación de Friedmann se deduce que la aceleración es cero en este caso). Curiosamente, el "universo FRW vacío" es equivalente por transformación de coordenadas (ver Capítulo 4 en la tesis de Tamara Davis) con el universo de Milne que está expandiendo el espacio-tiempo de Minkowski.

La métrica de Milne es simplemente la métrica de Minkowski en coordenadas aceleradas. Si calcula el tensor de curvatura de Riemann para la métrica de Milne, encontrará que es cero.
No estoy seguro de cómo calcularlo a partir de la métrica. Está claro que si no hay energía de tensión, entonces el tensor de curvatura de Riemann es cero.
¡No es verdad! Para la métrica de Schwarzschild, el tensor de tensión-energía es cero en todas partes, pero el tensor de Riemann no es cero.
Sí, el espacio-tiempo de Schwarzschild es curvo. Al mencionar "energía sin estrés", debería haber agregado que me refiero al universo FRW vacío respectivamente al universo plano de Milne.
@John, @ timm: esto (y su referencia a '¿Qué es una variedad?) es útil, ¡gracias! Todavía no sé si esto responde a mi pregunta, pero me da algo en qué pensar.
@timm debe aclarar que esta es una solución con parámetro de curvatura k = − 1 (en unidades de H 0 / C ). Para hipersuperficies planas a es constante y tienes el espacio-tiempo de Minkowski.
@timm cambia tu afirmación anterior a tensor de Ricci y estarás en lo correcto.
Sandro, derecha, con Ω i = 0 usted obtiene H 0 2 = − k C 2 que requiere k = − 1
Sandro, "cambia tu afirmativa anterior a tensor de Ricci y estarás en lo correcto". No estoy seguro si te entiendo aquí. La curvatura del espacio-tiempo está dada por el tensor de Ricci (que controla el volumen del habla descuidada) en caso de que el tensor de energía de tensión sea distinto de cero. En el universo de Milne, el espacio es curvo, pero el espaciotiempo no lo es, porque el tensor de tensión-energía es cero.
¿Está definido el espacio en la relatividad general incluso cuando está desprovisto de energía?
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