¿Una solución de vacío a la ecuación de Einstein implica un espacio-tiempo plano?

Hay que tener cuidado con las definiciones. Una solución de vacío para las ecuaciones de Einstein podría significar vacío en toda la variedad o en un subconjunto de ella. En el caso de la solución de Schwarzschild , la solución de vacío significa que$G_{\mu \nu}$se desvanece en todas partes excepto en el origen$r=0$. El origen está excluido de la definición de solución de Schwarzschild. Entonces, cuando se dice que Schwarzschild es una solución plana de Ricci, en realidad significa que$R_{\mu \nu} = 0$en todo el espacio-tiempo, excluyendo el origen. Esto es muy similar al caso de la electrostática donde la carga puntual (función delta) en$r=0$produce un campo eléctrico en todo el exterior, mientras explota en el origen. De manera similar, para GR, hay una fuente que produce la métrica de Schwarzschild: es una fuente de función delta en$r=0$. Pero este punto está excluido en el dominio de validez de la métrica de Schwarzschild porque a menudo nos preocupa la curvatura fuera de un objeto esféricamente simétrico (como usted indicó correctamente en su pregunta).

Además, la medida correcta de la curvatura no es el tensor de Ricci sino el tensor de Riemann$R_{\mu \nu \rho \sigma}$. Esto es distinto de cero para Schwarzschild en todas partes fuera de la fuente puntual/objeto esférico.

Y, por último, es totalmente posible que el espacio-tiempo tenga curvatura sin ninguna materia: las ondas gravitacionales que se propagan libremente transportan energía y momento, produciendo una curvatura distinta de cero.

Referencia: páginas$43,78$: La relatividad general y las ecuaciones de Einstein, Yvonne Choquet-Bruhat

No, una solución de vacío no implica un espacio-tiempo plano.

Es posible, como en una métrica de Schwarzschild, tener un tensor de Einstein cero pero un tensor de Riemann distinto de cero. El tensor de Riemann es el indicador de curvatura más detallado, con 20 componentes independientes (de 256 componentes nominales) en cada punto del espacio-tiempo. El tensor de Einstein es más como un promedio de curvatura, porque cada uno de sus componentes es una suma de múltiples componentes del tensor de Riemann. Tiene solo 10 componentes independientes (de 16 componentes nominales) en cada punto.

"La masa le dice al espacio-tiempo cómo curvarse" está demasiado simplificado. "La densidad y el flujo de energía y el impulso le dicen al espacio-tiempo cómo curvarse en promedio " es más preciso.