¿Cómo relacionó Einstein la energía y la curvatura del espacio-tiempo?

En última instancia, la justificación de la ecuación de Einstein fue experimental.

La suposición de que el principio de equivalencia se mantiene sugiere fuertemente que la gravedad tiene que ser descrita por una teoría métrica, es decir, la teoría relaciona la curvatura del espacio-tiempo con alguna propiedad de la materia y la energía presentes. La primera teoría de este tipo fue la teoría de la gravedad de Nordström propuesta en 1913, en la que la ecuación de campo es simplemente:

dónde$R$es el escalar de Ricci y$T$es la traza del tensor tensión-energía. Esta es una teoría de la gravedad perfectamente buena con todas las características que esperamos. Respeta el principio de equivalencia y es derivable de un principio de acción. Pero no pudo explicar el desplazamiento del perihelio de Mercurio y predijo que no se producirían lentes gravitacionales, mientras que la ecuación de Einstein:

describe correctamente la órbita de Mercurio y las lentes gravitatorias.

La ecuación de Einstein no es la única teoría que relaciona curvatura y masa/energía pero es la más simple que funciona. Por eso lo eligió Einstein.

Hay una constante gravitacional$\mathbf{G}$en las ecuaciones de campo de Einstein:

Para una configuración no relativista, las predicciones deben coincidir con las observaciones existentes, es decir, la ley de gravitación de Newton. Es por eso que la constante gravitatoria de Newton está ahí.

Entonces, como alguien señaló anteriormente, las ecuaciones de campo de Einstein son;

Dónde$G^{\mu\nu}$es un objeto matemático que describe la curvatura del$4D$tiempo espacial. El objeto$T^{\mu\nu}$se denomina tensor de tensión-energía y describe la energía, la presión y el contenido de materia del espacio-tiempo. Así que esencialmente tenemos:

La historia que he escuchado es la siguiente:

• Sabemos que la energía y el momento, etc., deben conservarse: esta condición se puede escribir de manera muy compacta como$\nabla_{\nu} T^{\mu\nu} = 0$(en términos simples, básicamente está diciendo que la derivada de$T$es cero, por lo que su contenido total de energía/impulso permanece constante).

• Las matemáticas involucradas en el desarrollo de este$G^{\mu\nu}$objeto requiere que$\nabla_{\nu} G^{\mu\nu} = 0$

Supongo que por sus pensamientos sobre el principio de equivalencia (??) Einstein sospechó que la energía y la curvatura están relacionadas entre sí. Desde$\nabla_{\nu} T^{\mu\nu} = 0 = \nabla_{\nu} G^{\mu\nu}$, dijo que$T^{\mu\nu} \propto G^{\mu\nu}$y se me ocurrió la ecuación anterior (después de poner algunas constantes para que las unidades funcionen).

Nota al margen interesante:$G^{\mu\nu}$es el objeto de curvatura más simple que obedece$\nabla_{\nu}G^{\mu\nu}=0$, pero hay otros más complicados que se podrían haber usado.