Prueba de que el tensor de cantidad de energía de la teoría del campo escalar satisface la condición de energía débil

No tengo el libro, por lo que no puedo verificar sus suposiciones, por lo que es posible que esto no responda a su pregunta, ya que está preguntando sobre 4 vectores arbitrarios .$U^{\mu}$, pero lo ofreceré en caso de que algo sea útil. Al probar la condición de energía débil (que es parte del camino para probar la condición de energía dominante), los 4 vectores en cuestión son similares al tiempo. Si este es el caso, podría intentar lo siguiente:

Asumir una firma (- + + +)

Empezando con

$$T_{\mu\nu}=\nabla_{\mu}\phi\nabla_{\nu}\phi-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}\left(\nabla_{\lambda}\phi\nabla^{\lambda}\phi+V(\phi)\right)$$

si$U^{\mu}$es temporal y apunta hacia el futuro, entonces en cualquier punto dado podemos trabajar en un marco ortonormal para el cual los componentes son$U^{\mu}=(1,0,0,0)$

Si demostramos entonces la positividad de$T_{\mu\nu}U^{\mu}U^{\nu}$en ese marco, se mantendrá en cualquier marco ya que es un escalar.

Entonces, conectando los componentes de$U^{\mu}$, obtenemos

$$T_{\mu\nu}U^{\mu}U^{\nu}=(\nabla_{0}\phi)^{2}+\frac{1}{2}(g^{\lambda\rho}\nabla_{\lambda}\phi\nabla_{\rho}\phi+V(\phi))$$

$$=\frac{1}{2}(\nabla_{0}\phi)^{2}+\delta^{ij}\nabla_{i}\phi\nabla_{j}\phi+V(\phi)$$

Así provisto$V(\phi)$es positivo y$\phi$es un campo real (que seguramente lo es, de lo contrario habría tenido conjugados complejos en el tensor de impulso de energía), luego en ese marco, en ese punto$T_{\mu\nu}U^{\mu}U^{\nu}$es positivo.

Pero esta es solo la condición de energía débil, tendrías que trabajar un poco más para probar la condición de energía dominante.

Siempre puede aumentar para que el vector U sea el eje del tiempo (cuando es estrictamente similar al espacio), y luego la expresión para la densidad de energía se puede escribir explícitamente

$$T_{00} = {1\over 2} \dot{\phi}^2 + {1\over 2} |\nabla\phi|^2 + V(\phi)$$

Esta expresión se encuentra sustituyendo 0 por los índices y la forma explícita de Minkowski del tensor métrico. Todas las contribuciones son manifiestamente definidas positivas (suponiendo que V está acotado por debajo). la primera contribución es la energía cinética del campo, la segunda es la energía potencial del gradiente del campo y la tercera es la energía potencial del valor del campo. La demostración de la desigualdad para vectores nulos se puede hacer tomando un límite del vector que se vuelve nulo.