Espectro de cuasienergía Floquet, ¿continuo o discreto?

En la ecuación estacionaria de Schrödinger, podemos tener un espectro continuo o discreto. ¿Qué hay de las cuasienergías de Floquet?

Puedes tener ambos. En cierto sentido, es trivial mostrar esto, ya que cualquier hamiltoniano constante también es periódico, pero presumiblemente quieres más ejemplos físicos, así que aquí hay dos.

• Para un espectro continuo, comience con una partícula cargada libre no relativista y agregue un campo eléctrico uniforme oscilante, por lo que el hamiltoniano es

  $$\hat H(t)=\frac12\hat p^2+\hat x\,E_0\cos(\omega t).$$ Las soluciones más limpias son los estados de Volkov.$|\Psi_p(t)⟩$, que son ondas planas con momento canónico$p$pero un impulso cinemático$p+A(t)=p+\tfrac{E_0}{\omega}\sin(\omega t)$que sigue el potencial vectorial del campo, es decir $$⟨x|\Psi_p(t)⟩=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac i2\int^t(p+A(\tau))^2\mathrm d\tau}e^{i(p+A(t))x}.$$ (Constantes de módulo y signos, que debe verificar usted mismo). Los estados de Volkov son estados de Floquet, con cuasienergía $$\varepsilon_p=\frac{p^2}{2}+U_p=\frac{p^2}{2}+\frac{E_0^2}{4\omega^2},$$ dónde$U_p$es el potencial ponderomotriz del campo, es decir, la energía media del movimiento oscilatorio. También son un conjunto completo, con$\int |\Psi_p(t)⟩⟨\Psi_p(t)|\mathrm dp=1$y$⟨\Psi_p(t)|\Psi_{p'}(t)⟩=\delta(p-p')$, lo cual está bien, pero también significa que no son la única base Floquet posible, ya que cualquier combinación lineal de$|\Psi_p(t)⟩$y$|\Psi_{\pm\sqrt{p^2+2n\omega}}(t)⟩$,$n\in\mathbb Z$, es también un estado de Floquet. Entonces, la variedad de Floquet es un gran continuo o múltiples continuos superpuestos, que son equivalentes dada la degeneración habitual de Floquet-ladder.

• Para un espectro discreto, simplemente tome cualquier espacio de Hilbert inicial de dimensión finita$\mathcal{H}$y agregue cualquier hamiltoniano periódico$H(t)=H(t+T)$. Entonces las cuasienergías$\varepsilon$(o más bien, la forma exponenciada$e^{i\varepsilon T}$) son los valores propios del propagador de un período$U(t_0+T,t_0)$para cualquier hora de inicio$t_0$, donde el propagador obedece$i\partial_t U(t,t')=H(t)U(t,t')$y$U(t,t')=1$. Desde$U(t_0+T,t_0)$es un operador en la dimensión finita$\mathcal H$, solo puede tener un conjunto discreto de valores propios.

  Puedo oírte gruñir y decir que eso es hacer trampa, y que uno debería tomar un problema de espectro discreto "natural" y mostrar que sus cuasienergías de Floquet todavía son discretas. Para algunos ejemplos de esta naturaleza, véase, por ejemplo, Commun. Matemáticas. física 177 núm. 2, 327 (1996) .

Puedes pensar en una energía de Floquet de manera similar a un estado de Bloch. En el último caso, debido a que el espacio es periódico, los estados de momento se repiten en cada vector reticular recíproco,$\textbf{G}$. Para un estado Floquet, debido a que el tiempo es periódico, los estados de energía se repiten cada$n\hbar \omega$dónde$n$es un entero y$\hbar \omega$depende del tiempo,$\tau$(dónde$\tau$en el experimento es el tiempo entre pulsos de láser).

Aquí hay una imagen del documento adjunto en caso de que no pueda verla, pero le recomiendo leer el documento a continuación si está interesado en los estados de Floquet. Puede ver (apenas) en la imagen a continuación que el Cono de Dirac (que fue elegido para ser el sistema estudiado aquí sin ninguna razón en particular), se repite en varios valores de$\hbar \omega$por encima y por debajo del Cono de Dirac "real" en$n=0$. Puedes ver el$n=1$,$n=2$, y$n=-1$afirma bastante claramente.

Vea el documento aquí:

https://www.sciencemag.org/content/342/6157/453?related-urls=yes&legid=sci;342/6157/453