¿Debe la función de onda ser analítica (real)?

Para mostrar la preservación de la normalización de la función de onda (en una dimensión por ahora), se muestra que el diferencial de tiempo es cero, lo que implica el siguiente paso:

d d t ∫ − ∞ ∞ Ψ ∗ Ψ d X = ∫ − ∞ ∞ ∂ ∂ t Ψ ∗ Ψ d X

He visto una prueba de esto para Ψ = Ψ ( z , t ) , z ∈ C , con la condición de que Ψ es analítico en algún dominio complejo simplemente conectado que contiene los límites de integración. ¿Esto implica entonces que una función de onda válida debe tener una continuación analítica en un dominio que contiene la línea real, o existe un teorema alternativo para funciones reales de variables reales ( Ψ ∗ Ψ , en este caso) con condiciones más débiles?

Respuestas (1)

Dejar H Sea un espacio de Hilbert separable. Supongamos que el hamiltoniano H es un operador autoadjunto densamente definido con dominio D ( H ) ⊂ H . Entonces para cualquier ϕ ∈ D ( H ) , i ∂ t mi − i t H ϕ = H mi − i t H ϕ , dónde mi − i t H ϕ es la única solución de la ecuación de Schrödinger.

Ahora, mi − i t H es un operador unitario para cualquier t ∈ R . Entonces deja ψ ∈ H y considera

‖ mi − i t H ψ ‖ 2 = ⟨ mi − i t H ψ , mi − i t H ψ ⟩ = ⟨ ψ , ψ ⟩ = ‖ ψ ‖ 2 ,
esto es cierto para cualquier t ∈ R y cualquiera ψ ∈ H (un espacio general de Hilbert). Entonces puedes ver que la norma se conserva por la evolución del tiempo. Si realmente desea tomar la derivada a tiempo, debe restringirse a ψ ∈ D ( H ) , donde la derivación tiene sentido como escribí anteriormente. Así que para cualquier ϕ ∈ D ( H ) :
1 2 ∂ t ‖ mi − i t H ϕ ‖ 2 = I metro ⟨ mi − i t H ϕ , H mi − i t H ϕ ⟩ = 0 ⇒ ‖ mi − i t H ϕ ‖ 2 = ‖ ϕ ‖ 2 .
La última igualdad se puede extender a cualquier ψ ∈ H por un argumento de densidad, usando una secuencia ( ψ j ) j ∈ norte de vectores en D ( H ) aproximando ψ .

PS Es inusual considerar un espacio de función de onda de variables complejas, pero es posible en la representación de Bargmann-Segal. De todos modos, puede intercambiar los signos de derivación e integración si puede aplicar el teorema de convergencia dominada (escribiendo la derivada como un límite), por ejemplo, si la función de onda es derivable con derivada acotada. También en la prueba que escribí arriba, un procedimiento límite está implícito y justificado por la diferenciabilidad en t de mi − i t H (en el sentido de operador fuerte/débil en el dominio de H / H 1 / 2 ).

El punto es que la normalización en el tiempo de la función de onda se puede probar para cualquier función de onda del espacio cuántico físico, ya que la evolución temporal (solución de la ecuación de Schrödinger) es unitaria. Este es un requisito de las teorías cuánticas y debe verificarse explícitamente: esto generalmente se hace verificando la autoadjunción del operador hamiltoniano.
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