¿Existe un Vector que no se pueda escribir como una Tupla de Escalares?

Question

¿Existe un Vector que no se pueda escribir como una Tupla de Escalares?

Matemáticas
espacios métricos
espacios vectoriales
álgebra lineal
álgebra abstracta
topología general

perturbador

La definición más abstracta/general de un vector

La definición más general de un vector es como un elemento de un espacio vectorial. Dado un vector $u$ , siempre podemos decir que existe un espacio vectorial $V$ eso $v$ es un elemento de.

es decir

\exists V : tu \in V, \forall tu

$\exists \ V : u \in V \ , \forall u$

Vectores definidos como tuplas de escalares

Un escalar definido más generalmente es un elemento de un campo $\mathbb{F}$ (p.ej $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$ ), siendo un campo simplemente un conjunto que satisface los axiomas de suma y multiplicación. Por ejemplo cualquier número real (siendo un elemento obvio el conjunto de números reales $\mathbb{R}$ ) es un escalar.

Sabemos que podemos escribir vectores como $n$ -tuplas de escalares.

un vector $w$ como un elemento del espacio vectorial $\mathbb{R^n}$ , se puede escribir en términos de escalares como elementos del campo de los números reales $\mathbb{R}$ .

w = [\begin{matrix} X_{1} \\ X_{2} \\ . . . \\ X_{norte} \end{matrix}]

$w = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ... \\ x_{n} \end{bmatrix}$

dónde $x_i \in \mathbb{R}$

Pregunta :

Dado un vector $u$ como elemento de un espacio vectorial $\mathbb{F^n}$ , siempre podemos encontrar un $n$ -tupla de escalares como elementos de algún campo $\mathbb{F}$ representar $u$ ¿por? Preguntado más formalmente:

Dado $u \ \in \mathbb{F^n}$ , podemos decir $\exists \ T : u \cong T$

dónde $T$ es algo arbitrario $n$ -tupla: $T = (x_1, x_2, ... x_n)$ y donde $x_i \in \mathbb{F}$ ?

En pocas palabras: ¿existe un vector que no se puede escribir como una tupla de sus escalares?

Esta respuesta a esta pregunta puede ser brutalmente obvia (tal vez tan obvia que es como preguntar si podemos escribir un número en términos de un número), en cuyo caso me disculpo, o puede ser una pregunta válida.

Quizás la razón por la que pregunto esto podría ser más clara, es intentar definir vectores en espacios métricos o topológicos, es decir, cómo cambiaría esta definición de un vector en espacios matemáticos superiores. Eso es lo que estoy tratando de pensar. Me doy cuenta de que realmente solo pregunté sobre la definición de vectores como tuplas de escalares en espacios vectoriales específicamente, pero acabo de agregar esto último aquí, para que pueda ver de dónde vengo.

Capitán Lama

Que hace

F^{n}

$\mathbb{F}^n$ significa para ti?

ken duna

Esto es cierto. Primero debe especificar una base para su espacio vectorial. Después de eso, puede escribir su vector en términos de la base y los coeficientes en esa expresión son las entradas del vector que llama

T

$T$ .

perturbador

@CaptainLama Cualquier espacio vectorial abstracto

ken duna

Note que esto significa que

u

$u$ se puede representar como un vector de múltiples maneras. La representación depende de la elección de la base.

david k

Un espacio vectorial puede tener infinitas dimensiones. Todavía puede tener una base, pero puede requerir una combinación lineal de una cantidad infinita de vectores base para producir un vector arbitrario.

u

$u$ en ese espacio vectorial. ¿Es la lista (infinitamente larga) de coeficientes de esos vectores base un "

n

$n$ -tuple" de acuerdo con el significado de ese término? (No me quejaré si la respuesta es "sí", pero si es "no", entonces puede haber otras consecuencias).

perturbador

@DavidK Sí. Diría que según lo que sé de las tuplas, eso constituiría una tupla. Sin embargo, tengo curiosidad, ¿cuáles son las consecuencias si hubiera dicho "No", y mi respuesta de Sí es correcta?

david k

Creo que "sí" está bien. Solo quería comprobar. Si realmente quisiera que la tupla tuviera solo un número finito de miembros, creo que habría funcionado solo para espacios vectoriales de dimensión finita (que todavía son muchos espacios vectoriales).

Respuestas (2)

¿Existe un Vector que no se pueda escribir como una Tupla de Escalares?

Esto es cierto. Primero debe especificar una base para su espacio vectorial. Después de eso, puede escribir su vector en términos de la base y los coeficientes en esa expresión son las entradas del vector que llama $T$ .
Note que esto significa que $u$ se puede representar como un vector de múltiples maneras. La representación depende de la elección de la base.
Un espacio vectorial puede tener infinitas dimensiones. Todavía puede tener una base, pero puede requerir una combinación lineal de una cantidad infinita de vectores base para producir un vector arbitrario. $u$ en ese espacio vectorial. ¿Es la lista (infinitamente larga) de coeficientes de esos vectores base un " $n$ -tuple" de acuerdo con el significado de ese término? (No me quejaré si la respuesta es "sí", pero si es "no", entonces puede haber otras consecuencias).
@DavidK Sí. Diría que según lo que sé de las tuplas, eso constituiría una tupla. Sin embargo, tengo curiosidad, ¿cuáles son las consecuencias si hubiera dicho "No", y mi respuesta de Sí es correcta?
Creo que "sí" está bien. Solo quería comprobar. Si realmente quisiera que la tupla tuviera solo un número finito de miembros, creo que habría funcionado solo para espacios vectoriales de dimensión finita (que todavía son muchos espacios vectoriales).

Capitán Lama · Answer 1

La cosa es, por definición, $F^n$ es el conjunto de $n$ -upple $(x_1,\dots,x_n)$ con $x_i\in F$ . Esa es la definición misma del símbolo. $F^n$ . Y de hecho $F^n$ es un espacio vectorial sobre $F$ .

Ahora, si comienzas con un espacio vectorial "abstracto" $V$ , entonces lo que quieres probar es que $V$ es isomorfo a $F^n$ para algunos $n$ (que es la dimensión de $V$ ).

El teorema es entonces que todo espacio vectorial de dimensión finita tiene una base : una familia (aquí finita) $(e_1,\dots,e_n)$ de vectores tal que todo vector $v$ puede ser escrito $v= \sum_i x_ie_i$ de una manera única. Esto define una biyección $V\to F^n$ que se ve fácilmente como un isomorfismo en el espacio vectorial.

Tenga en cuenta que esto no es canónico: elegir otra base da otro isomorfismo $V\to F^n$ .

También tenga en cuenta que para algunos espacios (aquellos de dimensión infinita) tendrá que considerar un número infinito de coordenadas (pero esto probablemente esté más allá de sus preocupaciones).

Esto es un poco engañoso: si bien cada espacio vectorial tiene una base, ¡esa base puede no ser finita! Por ejemplo, considere el $\mathbb{R}$ -espacio vectorial $V$ de todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ . No hay manera de ver un elemento de $V$ como una tupla finita de reales.
Por eso escribí "aquí finito". Edité para insistir en ese punto.

ken duna · Answer 2

Dejar $V$ sea un espacio vectorial de dimensión $n$ encima $\mathbb{F}$ . Dejar $\{v_1,\cdots,v_n\}$ ser una base para $V$ . Dejar $u \in V$ . Desde el $v$ 's forman una base, hay escalares $a_1,\cdots,a_n \in \mathbb{F}$ tal que $u = a_1v_1 + \cdots + a_nv_n$ . Dejar $T$ ser las tuplas $(a_1,\cdots,a_n)$ entonces $T$ es una representación de $u$ como una tupla.

Tenga en cuenta que esta prueba requiere que acepte la existencia de bases. En los casos de un espacio vectorial de dimensión finita, no es difícil demostrar que existen bases. Para espacios vectoriales de dimensión infinita, puede probar que existen bases usando el Lema de Zorn.

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perturbador

Capitán Lama

ken duna

perturbador

ken duna

david k

perturbador

david k

Respuestas (2)

Capitán Lama

noah schweber

Capitán Lama

ken duna

ken duna

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Único u∧vu∧vu\cuña v tal que (u∧v)⋅w=∣∣∣∣∣u1v1w1u2v2w2u3v3w3∣∣∣∣∣(u∧v)⋅w=|u1u2u3v1v2v3w1w2w3|(u\cuña v)\cdot w = \small\begin{vmatrix} u_1&u_2&u_3 \\ v_1&v_2&v_3 \\ w_1&w_2&w_3 \end{vmatrix} para todos los w∈R3w∈ℝ3w\inℝ^3