Compacidad relativa del espacio métrico

Sé que en un espacio métrico X compacidad, compacidad contable y compacidad secuencial de un subespacio X ′ son equivalentes usando la definición de compacidad contable como todo subconjunto infinito de X ′ tiene un punto de acumulación en X ′ y de compacidad secuencial como toda secuencia en X ′ tiene una subsecuencia que converge a un punto en X ′ .

Si definimos la compacidad contable relativa como todo subconjunto infinito de X ′ tiene un punto de acumulación en X y de relativa compacidad secuencial como cada secuencia en X ′ tiene una subsecuencia que converge a un punto en X , entiendo correctamente si deduzco, de forma sencilla teniendo en cuenta las propiedades de los conjuntos cerrados en un espacio métrico, que en un espacio métrico X compacidad relativa, compacidad relativa contable y compacidad relativa secuencial de un subespacio X ′ son equivalentes?

∞ ¡gracias!

Respuestas (1)

Ya mostré en esta respuesta que X ′ relativamente compacto implica X ′ relativamente contablemente compacto. También si X ′ es relativamente compacto, el X ′ ¯ es compacto y, por lo tanto, secuencialmente compacto (esto es válido en particular en espacios métricos, pero también en términos más generales). Así que cualquier secuencia de X ′ tiene una subsecuencia convergente con límite en X ′ ¯ , entonces X ′ entonces también es relativamente secuencialmente compacto.

En cualquier espacio, X ′ relativamente secuencialmente compacto implica X ′ compacto relativamente numerable: cualquier subconjunto infinito A de X ′ contiene alguna secuencia con todos los elementos diferentes, que tiene una subsecuencia convergente a alguna X ∈ X , y esto X es un punto de acumulación de A .

Si X ′ es relativamente contablemente compacto, y X es métrico (primero contable y T 1 ya lo hará), deja ( X norte ) ser una secuencia de X ′ . Si A = { X norte : norte ∈ norte } es finito, algún valor ocurre un número infinito de veces y produce una subsecuencia convergente. Así que asume A es infinito, por lo que tiene un punto de acumulación pag ∈ X . Porque X es T 1 , esto significa que cada barrio de pag se cruza A en infinitos puntos. Elegir X norte 1 en B ( pag , 1 ) , X norte 2 con norte 2 > norte 1 en B ( pag , 1 2 ) , y así sucesivamente, por recursión. Esto define una subsecuencia convergente de ( X norte ) que converge a pag . Entonces X ′ es relativamente contablemente compacto.

Si X ′ es relativamente contablemente compacto, y X es métrico, entonces lo conseguimos X ′ es relativamente compacto (esto se debe a Hausdorff, IIRC). No puedo reconstruir una prueba de inmediato, pero hay una aquí , por ejemplo (pero esto involucra filtros de Cauchy, etc.)

Resulta que estas nociones también son equivalentes en algunos espacios vectoriales topológicos (espacios de la forma C pag ( X ) dónde X es compacto (Grothendieck) y topológicos débiles en espacios vectoriales normados (Eberlein-Smulian)), pero creo que estos son un poco más complicados.

te lo agradezco de corazon!!! Entonces, ¿la compacidad contable no implica compacidad secuencial en general? ¿Para topología débil*? Me pregunto porque me pareció que mi libro significaba eso en este número: math.stackexchange.com/questions/929630/…
No, incluso hay espacios compactos (y por lo tanto contablemente compactos) que no son secuencialmente compactos, como [ 0 , 1 ] R en la topología del producto, o la compactación de Čech-Stone de los números enteros ( β norte ). ¡Así que hay algo que probar!
...y el texto lo llama "consecuencia inmediata"...! ℵ 1 ¡gracias!
Podría ser equivalente a débil*, pero no es equivalente en general. Mi análisis funcional está algo oxidado..
En math.stackexchange.com/a/27439/4280 ejemplo (i): la bola unitaria en ℓ ∞ ∗ es débil*-compacto pero no débil*-secuencialmente compacto. En la otra respuesta allí se muestra que X separable lo hará verdadero, ya que entonces esta bola unitaria es metrizable, y la compacidad secuencial y la compacidad son equivalentes nuevamente.
¡Gracias de nuevo! También he pensado en usar la metrizabilidad de la bola unitaria de mi ∗ para mostrar que numerable débil ∗ -la compacidad implica relativa debilidad secuencial ∗ -compacidad si mi es separable, pero eso no parece funcionar. A decir verdad, ni siquiera estoy tan convencido de que sea cierto, pero, de lo contrario, no puedo entender cómo el corolario 2 (aquí: libraryum.org/book/10022/106 ) "inmediatamente" se deriva del teorema 2 '(aquí: bibliotecaum. org/libro/10022/105 )...
Problema del corolario 2 resuelto: math.stackexchange.com/questions/929630/… . ¡Te agradezco de corazón otra vez, Henno, por tus respuestas!
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