Derivación de la antigua condición cuántica (∮pidqi=nh∮pidqi=nh\oint p_i dq_i=nh)

Question

Derivación de la antigua condición cuántica (∮pidqi=nh∮pidqi=nh\oint p_i dq_i=nh)

Física
espacio de fase
cuantización
semiclásico
mecánica cuántica
formalismo hamiltoniano

phineas nicolson

Un cuerpo en movimiento periódico en una órbita de número cuántico $n$ tendrá un período $T$ , determinado por

T = \oint \frac{d s}{v} = \oint \frac{d s}{\sqrt{\frac{2}{metro} (mi - V)}}

$T=\oint \frac{ds}{v}=\oint \frac{ds}{\sqrt{\frac{2}{m}(E-V)}}$ Dónde

d s

$ds$ es un desplazamiento infinitesimal,

v

$v$ es la velocidad del cuerpo,

m

$m$ es su masa,

E

$E$ su energía total y

V

$V$ su energía potencial. Asimismo, tendrá una acción abreviada en todo el período igual a

j = \oint \vec{pag} \cdot d \vec{s} = \sum_{i} \oint {pag}_{i} d q_{i} = \oint \sqrt{2 metro (mi - V)} d s

$J=\oint\vec p\cdot d\vec s =\sum_i\oint p_idq_i=\oint\sqrt{2m(E-V)}ds$ Se puede ver fácilmente que

T = \frac{d j}{d mi}

$T=\dfrac{dJ}{dE}$ Ahora bien, según Bohr, en el límite de los grandes números cuánticos (correspondientes a grandes vibraciones) el comportamiento del cuerpo debería aproximarse a su comportamiento clásico. Entonces, la frecuencia de la luz emitida por un cuerpo cuando cae del estado

n

$n$ a un estado inferior debe ser un múltiplo entero de la frecuencia a la que se mueve el cuerpo en su movimiento periódico. Dado que la frecuencia de luz más baja se emite cuando el cuerpo cae al estado directamente debajo de él, esa frecuencia debe corresponder a la frecuencia de movimiento del cuerpo en el límite clásico. Entonces, según la hipótesis de Planck:

F_{norte} \approx \frac{{mi}_{norte} - {mi}_{norte - 1}}{h}

$f_n\approx\frac{E_n-E_{n-1}}{h}$ Dónde

h

$h$ es la constante de Planck. Reemplazando:

\frac{d mi}{d j} \approx \frac{1}{h} \frac{d mi}{d j} (j_{norte} - j_{norte - 1})

$\dfrac{dE}{dJ}\approx\frac{1}{h}\dfrac{dE}{dJ}(J_n-J_{n-1})$ cancelando

\frac{d E}{d J}

$\dfrac{dE}{dJ}$ obtenemos

j_{norte} - j_{norte - 1} = h

$J_n-J_{n-1}=h$ De esto obtenemos que la acción está cuantizada

j = \oint \vec{pag} \cdot d \vec{s} = \sum_{i} \oint {pag}_{i} d q_{i} = norte h

$J=\oint\vec p\cdot d\vec s =\sum_i\oint p_idq_i=nh$ dónde

n

$n$ es un número entero. Pero la Vieja Condición Cuántica establece que

\oint {pag}_{i} d q_{i} = norte h

$\oint p_i dq_i=nh$ Lo que significa que la acción para cada coordenada generalizada y monetum está cuantificada, con el

n

$n$ para cada coordenada es un número cuántico. ¿Cómo se pasa de cuantificar la acción total durante un período de un cuerpo a cuantificar la acción de cada coordenada individual ?

bolbteppa

Separación de variables asumiendo que el sistema es separable, cf Landau Quantum Mechanics Sec. 48.

phineas nicolson

Pero, ¿cómo probarías que para cualquier sistema de coordenadas canónicas, la integral de uno de los momentos sobre su coordenada correspondiente sobre una oscilación siempre será igual a un múltiplo entero de la constante de Planck?

bolbteppa

"Para que la vieja condición cuántica tenga sentido, el movimiento clásico debe ser separable, lo que significa que hay coordenadas separadas

q_{i}

$q_i$ en términos de los cuales el movimiento es periódico " . Hamiltonian, es decir, la ecuación de Schrodinger, es separable como se hace, por ejemplo, en el capítulo del libro al que se hace referencia, ¿de dónde proviene realmente algo en su publicación?

phineas nicolson

Descubrí esta derivación yo mismo, en base a la derivación del momento angular cuantificado de Bohr que vi en wikipedia y en otros lugares aquí, pero he visto una derivación que era más o menos la misma en otra pregunta de StackExchange.

Respuestas (2)

Derivación de la antigua condición cuántica (∮pidqi=nh∮pidqi=nh\oint p_i dq_i=nh)

Separación de variables asumiendo que el sistema es separable, cf Landau Quantum Mechanics Sec. 48.
Pero, ¿cómo probarías que para cualquier sistema de coordenadas canónicas, la integral de uno de los momentos sobre su coordenada correspondiente sobre una oscilación siempre será igual a un múltiplo entero de la constante de Planck?
"Para que la vieja condición cuántica tenga sentido, el movimiento clásico debe ser separable, lo que significa que hay coordenadas separadas $q_i$ en términos de los cuales el movimiento es periódico " . Hamiltonian, es decir, la ecuación de Schrodinger, es separable como se hace, por ejemplo, en el capítulo del libro al que se hace referencia, ¿de dónde proviene realmente algo en su publicación?
Descubrí esta derivación yo mismo, en base a la derivación del momento angular cuantificado de Bohr que vi en wikipedia y en otros lugares aquí, pero he visto una derivación que era más o menos la misma en otra pregunta de StackExchange.

qmecanico · Answer 1

Como señala correctamente el usuario bolbteppa en los comentarios, la vieja teoría cuántica solo funciona si imponemos algún tipo de condición de integrabilidad/separabilidad. Supongamos, por simplicidad, que el sistema hamiltoniano autónomo clásico con hamiltoniano $H(J)$ tiene variables de acción angular
$\begin{matrix} (1) & (w^{1}, \dots, w^{norte}, j_{1}, \dots, j_{norte}) \in (S^{1})^{norte} \times R^{norte} . \end{matrix}$ $(w^1,\ldots,w^n,J_1,\ldots,J_n)\in (\mathbb{S}^1)^n\times \mathbb{R}^n.\tag{1}$ La función característica de Hamilton es entonces $\begin{matrix} (2) & W (w, j) = \sum_{k = 1}^{norte} w^{k} j_{k} . \end{matrix}$ $W(w,J)~=~\sum_{k=1}^nw^kJ_k.\tag{2}$
Un poco simplificado, una función de onda de la forma
$\begin{matrix} (3) & ψ = Exp (\frac{i}{ℏ} W) \end{matrix}$ $\psi~=~\exp\left(\frac{i}{\hbar}W\right)\tag{3}$ luego satisface el TISE $\begin{matrix} (4) & H (\frac{ℏ}{i} \frac{\partial}{\partial w}) ψ = H (j) ψ . \end{matrix}$ $H\left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial w}\right) \psi~=~H(J) \psi.\tag{4}$ El requisito de un solo valor de la función de onda. $\psi$ a lo largo del toro $\begin{matrix} (5) & w^{k} \sim w^{k} + 1, k \in {1, \dots, norte}, \end{matrix}$ $w^k\sim w^k +1, \qquad k\in\{1,\ldots, n\},\tag{5}$ luego conduce a la regla de cuantización de Bohr-Sommerfeld $\begin{matrix} (6) & j_{k} \in h Z, k \in {1, \dots, norte}, \end{matrix}$ $J_k~\in~h\mathbb{Z}, \qquad k\in\{1,\ldots, n\},\tag{6}$ que OP solicitó. Esto está demasiado simplificado en el sentido de que no explica la corrección metapléctica / índices de Maslov , que modifica la ec. (6).
Un análisis más riguroso investiga el valor único, los puntos de inflexión y las condiciones de contorno de la función de onda $\psi$ en función de las posiciones $(q^1,\ldots q^n)$ [en lugar de como una función de los ángulos $(w^1,\ldots w^n)$ ]. Para obtener referencias, consulte esta publicación de Phys.SE y los enlaces que contiene.

phineas nicolson · Answer 2

Bien, creo que finalmente lo entendí! Gracias bolbteppa!

Un cuerpo que oscila puede oscilar con diferentes periodos en diferentes grados de libertad o coordenadas. Un ejemplo de ello es una órbita de precesión. Ahora el periodo de movimiento en coordenadas $i$ es

T_{i} = \oint \frac{d q_{i}}{{\dot{q}}_{i}}

$T_i=\oint\frac{dq_i}{\dot q_i}$ Que, según la mecánica hamiltoniana es

\oint \frac{d q_{i}}{(\frac{\partial H}{\partial {pag}_{i}})}

$\oint\frac{dq_i}{\left(\dfrac{\partial H}{\partial p_i}\right)}$ La acción durante un período completo a partir de una sola coordenada.

J_{i}

$J_i$ es

j_{i} = \oint {pag}_{i} d q_{i}

$J_i=\oint p_i dq_i$ el derivado de

J_{i}

$J_i$ con respecto a

H

$H$ es

\frac{\partial j_{i}}{\partial H} = \oint \frac{\partial {pag}_{i}}{\partial H} d q_{i} = \oint \frac{d q_{i}}{(\frac{\partial H}{\partial {pag}_{i}})}

$\dfrac{\partial J_i}{\partial H}=\oint \dfrac{\partial p_i}{\partial H}dq_i=\oint\frac{dq_i}{\left(\dfrac{\partial H}{\partial p_i}\right)}$

Entonces $T_i$ es igual a $\dfrac{\partial J_i}{\partial H}$ , o la frecuencia $f_i$ es igual a $\dfrac{\partial H}{\partial J_i}$

A partir de esto, puedo pasar por las matemáticas de mi pregunta:

F_{i} (norte) = \frac{H (j_{norte}) - H (j_{norte - 1})}{h}

$f_i(n)=\frac{H(J_n)-H(J_{n-1})}{h}$

\frac{\partial H}{\partial j_{i}} = \frac{1}{h} \frac{\partial H}{\partial j_{i}} (j_{i} (norte) - j_{i} (norte - 1))

$\dfrac{\partial H}{\partial J_i}=\frac{1}{h}\dfrac{\partial H}{\partial J_i}(J_i(n)-J_i(n-1))$

j_{i} (norte) - j_{i} (norte - 1) = h

$J_i(n)-J_i(n-1)=h$

j_{i} = \oint {pag}_{i} d q_{i} = norte h

$J_i=\oint p_i dq_i=nh$ ¡Gracias por tu ayuda!

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