La constante de Planck y el espacio de fase en la mecánica cuántica

Durante mis clases de física de pregrado, me he encontrado con varios fenómenos aparentemente relacionados relacionados con h y el espacio de fase en la mecánica cuántica.

  1. Dejar T X ser un operador de traducción por X en el espacio de posición, y dejar T pag traducir por pag en el espacio de momento. Entonces T X y T pag conmutar si X pag es múltiplo de h .
  2. Supongamos que un sistema de partículas puede ocupar un volumen de 2 norte -espacio fase dimensional. Entonces la densidad de estados cuánticos (en ciertos casos agradables) es 1 / h 2 norte .
  3. La condición de cuantización de la vieja teoría cuántica: los caminos legales del espacio de fases satisfacen ∫ pag d q = norte h .
  4. La aproximación WKB con dos paredes duras: los estados estacionarios deben satisfacer ∫ pag d X = norte h / 2 .

Como se indica en el comentario a continuación, todas estas cosas están vinculadas por el campo del análisis semiclásico. Me gustaría una breve descripción de lo que es el análisis semiclásico y cómo funcionan estas conexiones.

Probablemente debería mirar la rama de las matemáticas llamada análisis semiclásico. En particular, creo que la ley de Weyl puede ser útil en este contexto...
Wow, esto es exactamente lo que he estado buscando! Las matemáticas están por encima de mi cabeza en este punto, pero definitivamente volveré a ellas en un año o dos.

Respuestas (1)

I) El punto de partida común es el CCR

(1) [ q ^ , PAG ^ ]   =   i ℏ   1 .

Para una representación irreducible general del CCR (1), consulte el teorema de Stone-von Neumann . La representación estándar de la posición de Schrödinger dice

(2) q ^   =   q , PAG ^   =   − i ℏ ∂ ∂ q .

Hay una representación similar del momento de Schrödinger. El CCR (1) también dicta la superposición entre la posición y la base de impulso.

(3) ⟨ pag , t ∣ q , t ⟩   =   1 2 π ℏ Exp ⁡ ( pag q i ℏ )

hasta convenciones de factor de fase, cf. por ejemplo, esto . Publicación Phys.SE. De ello se deduce que los operadores exponenciados

(4) T a   :=   Exp ⁡ ( i a ℏ PAG ^ ) y T ~ b   :=   Exp ⁡ ( b i ℏ PAG ^ )
convertirse en los operadores de traducción
(5) T a ψ ( q )   =   ψ ( q + a ) , T ~ b ψ ~ ( pag )   =   ψ ~ ( pag + b ) .
Del CCR (1) y la fórmula similar a BCH
(6) mi A ^ mi B ^   =   mi C ^ mi B ^ mi A ^ , C ^   :=   [ A ^ , B ^ ] ,
que se sostiene si
(7) [ A ^ , C ^ ]   =   0 y [ B ^ , C ^ ]   =   0 ,
es sencillo ver que
(8) [ T a , T ~ b ]   =   0 ⇔ a b   ∈   h Z ,
que es la primera declaración de OP.

II) El TISE en la representación de la posición de Schrödinger dice

(9) ( PAG ^ 2 − pag ( q ) 2 ) ψ ( q )   =   0 , pag ( q )   :=   2 metro ( mi − V ( q ) ) .
La expansión semiclásica de WKB
(10) ψ ( q )   =   A ( q ) Exp ⁡ ( i ℏ S ( q ) )
lleva a
(11) d S ( q ) d q   =   ± pag ( q ) .
La condición de cuantificación de WKB/Bohr-Sommerfeld 1
(12) ∮ pag ( q )   d q   ∈   h Z
entonces se sigue esencialmente del hecho de que la función de onda (10) debe ser de un solo valor. Para obtener una derivación más detallada, consulte, por ejemplo, las referencias proporcionadas en esta publicación de Phys.SE. La condición de cuantificación de WKB/Bohr-Sommerfeld (12) muestra que en 1D hay aproximadamente un estado límite por área de espacio de fase clásicamente disponible dividido por la constante de Planck h . Esto se generaliza a dimensiones superiores, véase, por ejemplo, la ley de Weyl , cf. comentario anterior del usuario yuggib.

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1 En la ec. (12) por simplicidad hemos ignorado la corrección metapléctica / índice de Maslov .

La constante de Planck y el espacio de fase en la mecánica cuántica
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