Teoría de la perturbación para una partícula en un potencial débil

Permítanme aclarar primero algunos errores en su pregunta. Si tu$\lambda$es positivo, entonces su Lagrangiano describe una partícula ligada, no una partícula libre. Además, es una partícula con masa = 1. Si en cambio es una densidad lagrangiana, entonces no tiene masa$\phi^4$teoría en 0+1_D como sugieres. Cuando dice que espera un espectro discreto con una energía de estado fundamental pequeña, estoy convencido de que está interesado en la solución para una partícula con masa = 1 en lugar de la sin masa.$\phi^4$teoría. Más tarde, sin embargo, hablas de agregar una pequeña masa ($m$) que suena como si estuvieras confundiendo las dos posibilidades. Permítanme eliminar esta confusión agregando un término de masa general a su Lagrangiano:

$$L=\frac{1}{2}m\dot x^2-\lambda x^4$$ El hamiltoniano para este sistema se convierte en: $$H=\frac{p^2}{2m}+\lambda x^4$$ Ahora consideremos un tratamiento de la teoría de la perturbación de primer orden de la energía del estado fundamental de este hamiltoniano. Elijamos el oscilador armónico hamiltoniano para el caso no perturbado: $$H_0=\frac{p^2}{2m}+\frac{k}{2}x^2$$ Como sabemos que la energía del estado fundamental del oscilador armónico es $\frac{\hbar}{2}\omega$dónde $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$, podemos escribir la aproximación de la teoría de perturbaciones de primer orden al estado fundamental de H como: $$< u_0|H|u_0 >=\frac{\hbar}{2}\omega+\lambda<u_0|x^4|u_0>-\frac{m}{2}\omega^2<u_0|x^2|u_0>$$ dónde $u_o$es la función de onda del estado fundamental del oscilador armónico. Se puede demostrar que para el estado fundamental del oscilador armónico $$<u_0|x^4|u_0>=3<u_0|x^2|u_0>^2$$ Esto nos permite escribir: $$<u_0|H|u_0>=\frac{\hbar}{2}\omega+<u_0|x^2|u_0>(3\lambda<u_0|x^2|u_0>-\frac{m}{2}\omega^2)$$ Ahora, mediante el uso de técnicas de operadores o por integración directa, se puede demostrar que $$<u_0|x^2|u_0>=\frac{\hbar}{2m\omega}$$ de modo que $$<u_0|H|u_0>=\frac{\hbar}{4}\omega+\frac{3\hbar^2\lambda}{4m^2\omega^2}$$

Esta aproximación a la energía del estado fundamental del hamiltoniano cuartico es apropiada para cualquier frecuencia de oscilador armónico$\omega$. Sin embargo, como se señaló en la respuesta de @Urgie, esta puede no ser una buena aproximación porque la perturbación crece bastante para grandes$x$cualquier valor que elijamos para$\omega$. En mi comentario sobre la pregunta hace varios días, aludí a acoplar el enfoque del oscilador armónico a un principio variacional. Esto produciría la mejor aproximación de primer orden posible basada en una función de onda de oscilador armónico. Esto se logra igualando la derivada de$<u_0|H|u_0>$con respecto a$\omega$a 0 y luego resolviendo la ecuación resultante para$\omega$como una función de$\lambda$. Siguiendo este procedimiento obtenemos:

$$\frac{d<u_0|H|u_0>}{d\omega}=\frac{\hbar}{4}-\frac{3}{2} \frac{\lambda \hbar^2}{m^2\omega^3}=0$$ Resolviendo esto encontramos el mejor valor para $\omega$ $$\omega=\sqrt[3]{\frac{6\lambda\hbar}{m^2}}$$ Esto conduce a una fórmula bastante complicada para la energía del estado fundamental que no me molestaré en escribir, pero tenga en cuenta que satisface su intuición de que debería ser proporcional a $\lambda^{\frac{1}{3}}$.

Ahora creo que sería bastante instructivo para alguien resolver este problema numéricamente (para los parámetros específicos$m=\lambda=\hbar=1$, por ejemplo) y vea cuán buena es esta aproximación. Si alguien me acepta en esto, definitivamente votaré su respuesta.

Editar: Matthew proporcionó un enlace en un comentario a continuación que permite la comparación que sugerí anteriormente. Siguiendo este enlace, la energía gs para un cálculo (numérico) exacto es 0.667985 (para los parámetros que sugerí anteriormente). Este enlace también realiza un cálculo semiclásico (Bohr-Sommerfeld) que da como resultado 0,546267 para el mismo estado (y los mismos parámetros). El resultado del cálculo de la perturbación del oscilador armónico (con el método variacional y los mismos parámetros) descrito en mi respuesta anterior es 0,68142. El cálculo semiclásico tiene un error del 18 %, mientras que el cálculo de la perturbación de primer orden HO tiene un error del 2 %. Un último punto a considerar es la tasa de convergencia de la serie de perturbaciones para este enfoque. La energía HO (sin perturbaciones) para esta situación es 0,90856, por lo que la corrección de primer orden es 0,22714, que es 94. 4% de la discrepancia total (una tasa rápida de convergencia). Este es un testimonio de la solidez de la teoría de la perturbación junto con las estimaciones del método variacional para las energías gs, incluso cuando la perturbación no es pequeña en las regiones de interés.

De$L$se obtiene el hamiltoniano

$$\begin{equation*} L=\frac{1}{2}\dot{x}^{2}-\lambda x^{4}\Rightarrow H=\frac{1}{2}p^{2}+\lambda x^{4} \end{equation*}$$ Para este modelo $H$tiene un disolvente compacto $[z-H]^{-1}$para $z$fuera del espectro de $H$. Esto implica que $H$tiene un espectro discreto con valores propios con degeneración finita (véanse los volúmenes de Reed y Simon "Métodos de la física matemática moderna"). En particular, el hamiltoniano libre no es un orden cero conveniente. En cambio, uno podría pensar en un potencial armónico en el orden cero como lo menciona Lewis Miller. Pero el potencial real no es una pequeña perturbación del armónico y se requieren diferentes métodos.