¿Es posible que un objeto físico tenga una longitud irracional?

El conjunto de números irracionales llena densamente la recta numérica. Incluso suponiendo que la mecánica cuántica no deshabilite la premisa de su pregunta, la probabilidad de que elija al azar un número irracional de un sombrero de todos los números es aproximadamente$1 - \frac{1}{\infty} \approx 1$.

Entonces la pregunta debería ser "¿es posible tener un objeto con longitud racional ?

¿Es posible que un objeto físico tenga una longitud irracional?

Es una pregunta un poco filosófica, pero se podría decir esto:

Solo por diversión, suponga que tiene una pieza perfecta de metal triangular recto de 45 grados cuya base y altura son racionales. Entonces su hipotenusa es irracional porque su longitud es la base por$\sqrt{2}$.

Entonces , es posible tener un objeto físico de longitud irracional SI puedes tener un objeto físico de longitud racional.

AGREGADO: suponga que corta un triángulo rectángulo de 45 grados de un material basado en una red atómica cuadrada, por lo que la base y la altura consisten cada una en$N$átomos separados por$d$. Entonces la hipotenusa consta de$N$átomos separados por$\sqrt{2}\times d$, por lo que todavía no es racional.

Supongamos, en cambio, que el material se basa en una red hexagonal. Entonces todo el espacio interatómico sería$d$, pero sería imposible cortar un triángulo perfecto de 45 grados. De hecho, el único triángulo con lados racionales que podrías cortar sería el equilátero.

Supongamos que su calibre infinitamente preciso da la respuesta$2.00000000000000\dots$¿Cómo sabrías si esto es$2$exactamente, o si en algún lugar después del trillonésimo decimal comienza a desviarse de$2$? ¿Cómo leerías tu calibre infinitamente preciso?

los objetos físicos no tienen longitudes bien definidas (existe eso que se llama mecánica cuántica concebida en su totalidad sobre este concepto). Una pregunta más interesante es si los números adimensionales en física pueden ser irracionales, por ejemplo, la relación entre la masa del electrón y la del protón.

Teóricamente, necesitaremos una expansión numérica y algún argumento limitante para decir a qué dominio de los reales pertenece el límite (irracional, trascendental, racional). Experimentalmente, esto nunca se puede afirmar, ya que, naturalmente, todos los números experimentales se conocen con un número finito de dígitos de precisión.

Se puede dar un argumento basado en la teoría de la medida y similares, pero no se debe olvidar que la física se trata de la medición . La cuestión de si la longitud puede ser racional o irracional necesitaría una medida infinitamente precisa, lo cual no es posible (las medidas conllevan un error). Por lo tanto, esta pregunta no puede responderse desde el punto de vista de la física. Cualquier respuesta será solo especulación.

Si asumimos que el universo es continuo, y decimos arreglar todo en un marco de tiempo determinado. Entonces todo tiene una longitud irracional, independientemente de lo bien que podamos medirlo. Simplemente porque podemos definir una unidad de medida cuyo resultado sería irracional.

Por ejemplo, medir mi pie. Ahora define la unidad de medida.$1\ \small\bf Karf$ser la raíz cuadrada del doble de la longitud. Entonces mi pie estaría exactamente$\sqrt\frac12\ \small\bf Karf$largo. Como la conocemos$\sqrt\frac12$es irracional

Pero esto requiere la suposición de que el universo es continuo y que podemos congelar el tiempo y medirlo con una precisión infinita. Si el universo es discreto, o si no podemos medir con precisión, entonces realmente no podemos decir demasiado. Sin mencionar que todo cambia todo el tiempo (las células se caen, los átomos se liberan, etc., etc.), por lo que no hay una longitud constante para nada lo suficientemente grande.

Tomemos el caso más pequeño posible de tal triángulo. Estaría formado por tres átomos de igual tamaño, unidos en forma de L con un ángulo de 90° entre ellos.

Si tiene un arreglo como ese, y algo similar podría ser químicamente posible, los centros de masa de los dos átomos más distantes estarían separados [exactamente] [1]$\sqrt{2}\times$la distancia entre los que se tocan directamente.

Presumiblemente, si adopta un enfoque más riguroso y preciso, si observa la estructura de enlace del agua (que, por supuesto, no tendrá un ángulo recto pero la situación es equivalente), los centros de masa de los dos átomos de hidrógeno también sería una distancia irracional aparte comparada con las distancias de los centros de masa de cada Hidrógeno al Oxígeno. No importa qué escala uses, al menos una de las dos distancias siempre será irracional.

Si de alguna manera puede limitar el conjunto de todas las distancias posibles a un infinito contable, sospecho que este conjunto no son los racionales sino los números algebraicos . (o al menos el subconjunto de ellos que son positivos)

[1]: módulo Heisenberg pero tampoco usé orbitales adecuados. Por el bien del argumento, definamos una distancia a nivel cuántico por las distancias de los valores esperados de las nubes de probabilidad correspondientes.

Si está hablando de objetos físicos reales, entonces su pregunta se derrumba por completo, porque dichos objetos están compuestos de partículas que no tienen posiciones ni momentos definidos de acuerdo con el principio de incertidumbre de Heisenberg.

Así que sigamos con un palo en la mecánica clásica, luego su calibrador puede devolver números irracionales.

Pero un segmento de línea matemática ni siquiera tiene que tener una longitud racional o irracional, podría tener una escala aún 'más fina', un llamado número no estándar.

Desde el punto de vista de la teoría de la medida, la probabilidad de medir una longitud racional es en realidad cero.

Considere, sin pérdida de generalidad, el intervalo$[0,1]$. Usando la medida estándar de Lebesgue, la medida de este conjunto (su longitud) es 1. Si consideramos el subconjunto que consta de todos los números racionales de este conjunto, su medida es en realidad 0. Esto comienza a tener sentido si se considera cuán minúsculo el tamaño de los números racionales se compara con todos los demás números reales. De hecho, resulta que los únicos subconjuntos de nuestro intervalo con medida distinta de cero son continuos (p. ej.$[a, b]$, donde$a<b$y la medida es$b-a$) y los que contienen los llamados números normales. Se dice que solo los números normales "ocupan espacio" en la recta numérica real. Es decir, prácticamente todos los números reales son en realidad números normales (que nunca se pueden escribir en papel), por lo que la probabilidad de medir cualquier cosa que no sea un número normal es 0.

http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_number

Creo que debido a que tiene medidas que son números reales que no son isomorfos a los números naturales o contablemente infinitos, primero ha asumido que el universo es infinitamente denso. Por lo tanto, se requeriría que cualquier medida como se menciona en alguna otra respuesta tenga una cantidad infinita de puntos decimales.

Esto se ve por el hecho de que el conjunto de números reales puede verse como un conjunto de secuencias infinitas de números enteros. Debido a que las medidas son positivas, cualquier medida se puede representar en la forma$r = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{a_i}{10^i}$tal que$a_0 \in \Bbb N$y para$i>0; a_i \le 9$. Después$r$se define como el límite como$i$a$\infty$.

En resumen, puede ver que las medidas irracionales solo corresponden a tipos específicos de secuencias anteriores donde no se repiten.

En lugar de ir más allá en la definición de las secuencias enteras, también me gustaría considerar otras nociones. ¡Las medidas posibles no son contables!

Tenga en cuenta que aunque tradicionalmente las matemáticas utilizadas en física se definen sobre los reales o complejos, generalmente corresponden a conjuntos isomorfos a los números enteros o que son contables en el cálculo real.

Parece que las matemáticas consideran el reino de la posibilidad (donde algunos reales ni siquiera son definibles), no sé si corresponde a los constituyentes del universo.

La hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos 1 es irracional.

Alternativamente, considere una pirámide. A medida que toma medidas de la "longitud de la base" hacia el ápice, obtiene un conjunto continuo de valores. Uno de estos debe ser irracional.

Por supuesto, luego puede comenzar una discusión sobre qué es un objeto 'físico' y si la longitud es realmente continua, o si tiene que ser discreta porque está construida por átomos.

En primer lugar, no tiene sentido asignar un número absoluto a una cantidad física como la longitud y el volumen. El número puede ser diferente con respecto a diferentes "unidades" de medida.

Pero todavía se puede cuestionar la relación de dos longitudes, en este caso:

De acuerdo con el límite de entropía de Bekenstein (información), supongo que debería haber un nivel máximo de precisión.

Si una barra tiene una relación de longitud irracional, demanda una cantidad infinita de información (escriba la longitud en un formato binario como esta secuencia 11010100001000...).

Dado que los números irracionales no tienen ningún patrón (repetición de una secuencia finita), supongo que debería ser imposible retener toda esa información en un mundo mecánico cuántico.

¡Además, uno puede ser aún más crítico y aceptar la existencia de proporciones de longitud solo con un código finito (en lugar de un patrón repetitivo finito)! de modo que uno puede negar incluso una barra con una relación de longitud de número racional no entera.

¡Esto suena como la aparición de números enteros (quantas) en la Mecánica Cuántica!

Se espera de los resultados generales en Loop Quantum Gravity, un competidor principal para Quantum Gravity, que haya una longitud mínima que se pueda resolver, que es del orden de la longitud de Planck.

Dado que los irracionales deben tener una precisión infinita, esto significa que debemos descartar objetos con longitud irracional. De hecho, también debemos descartar objetos con longitud racional, ya que para comprobar que tienen longitud racional requerimos de una precisión infinita.

Resulta que la estructura continua de la geometría física es bastante más interesante que la línea real...