¿Es necesario que la función de onda sea continua y satisfaga otras condiciones de contorno?

Entonces, no ignore esta pregunta pensando que es un duplicado o algo así. He leído todas las respuestas en StackExchange y en otros artículos, pero las matemáticas son demasiado confusas o las respuestas no tienen sentido.

Entonces, tengo un primer curso en Mecánica Cuántica, y sigo principalmente a Griffiths para problemas y teoría. Entonces, mientras leía bien sobre el cuadrado infinito, llegué a la conclusión de que la razón por la cual las energías en tales problemas (o digamos cualquier problema con la ecuación de funciones propias de energía / TISE) están cuantificadas es debido a la continuidad y la normalización del límite. Debido a que las funciones propias de energía deben ser continuas, solo tomamos ondas sinusoidales que comienzan y terminan en 0 en la interfaz del pozo, y es por eso que solo se permiten energías específicas.

Pero en uno de los problemas, da una función irrazonablemente discontinua que ni siquiera llega a cero en el límite como la función de onda inicial y la menciona en una nota al pie, y estoy citando directamente del Problema 2.8, DJ Griffiths, Introducción a QM , 2ª edición. -

Una partícula de masa metro en un pozo cuadrado infinito comienza en la mitad izquierda del pozo y está en t = 0 igualmente probable que se encuentre en cualquier punto de esa región.

No hay restricción sobre la forma de la función de onda inicial siempre que sea normalizable. En particular, ψ ( X , 0 ) no necesita tener una derivada continua, de hecho, ψ ( X , 0 ) ni siquiera tiene que ser una función continua.

Ahora bien, si esto es cierto sobre t = 0 , ¿no debería ser cierto en cualquier momento? ¿Qué tiene de especial t = 0 ? Pero si la función de onda no necesita ser continua, entonces todo nuestro análisis de los estados propios de la energía del pozo infinito con energías cuantificadas no tiene ningún sentido. Entonces, ¿cuáles son las condiciones de una función de onda física y por qué existen?

physics.stackexchange.com/q/38181 esto podría ser relevante
Sí @Qmecánico. Leí la mayoría de sus respuestas, pero aún así publiqué la pregunta porque no entiendo exactamente la terminología como L 2 y C norte y muchas cosas mas en las respuestas. Por lo tanto, estaría muy agradecido si alguien pudiera proporcionar la respuesta en un nivel elemental (no sé mucho de mecánica cuántica. Esta es la primera vez que lo estudio).

Respuestas (1)

Hay varias cuestiones involucradas aquí:

  • Las funciones de onda deben ser continuas y satisfacer las condiciones de contorno. Esto puede basarse en principios físicos, pero también es obvio a partir de la ecuación de Schrödinger, que implica que una función de onda tiene una derivada en el tiempo y la primera y la segunda derivadas en el espacio.
  • Cuando resolvemos problemas físicos, a menudo hacemos aproximaciones o asumimos casos límite, lo que hace que el problema en cuestión sea más fácil de resolver matemáticamente. Este, por cierto, es el caso del pozo cuadrado infinito : resolver los niveles de energía de un pozo finito es mucho más desafiante. El pozo cuadrado en sí mismo es una aproximación a formas más suaves y realistas. Otro caso de uso frecuente es una barrera o un pozo modelado por una función delta ; esto conduce a la discontinuidad de la segunda derivada de la función de onda.
  • La primera parte de su pregunta tiene que ver con las funciones propias en el pozo cuadrado infinito, mientras que la segunda con una evolución dependiente del tiempo de una función de onda. Esta última no es una función propia, pero se puede expandir en ellos, que es el punto del problema, y ​​se puede hacer. El problema está mal planteado y tenías razón en cuestionarlo, pero, después de todo, es solo un problema de ejercicio, no una investigación científica real.
Pero Griffiths menciona explícitamente que ψ ( X , 0 ) puede ser literalmente cualquier cosa, incluso discontinua. Entonces, ¿cómo se conmuta esto con lo que estás diciendo? Además, dijiste que la función de onda de un potencial delta tiene una segunda derivada discontinua. ¿Cómo son posibles estas cosas cuando no están permitidas en la mecánica cuántica?
Como ya he mencionado, se llaman aproximaciones : no son posibles en la vida real, pero son útiles como herramientas teóricas. La mecánica clásica está llena de ellos, por cierto: una partícula en forma de punto que se mueve en el vacío a una velocidad constante : nada en esta frase es posible.
Entonces, ¿cuándo sé que estas aproximaciones son válidas o no? ¿Cómo sé que debo considerar las funciones de onda continua para un cuadrado infinito o no?
También tenía otra pregunta. Digamos que rompo esta función de onda en una superposición de funciones propias de energía del pozo cuadrado infinito. Obtengo la evolución de tal función de onda como
ψ ( X , t ) = ∑ norte = 1 , 3 , 5... ∞ 2 norte π pecado ⁡ ( norte π X a ) mi − i ω norte t + ∑ norte = 2 , 6 , 10... ∞ 4 norte π pecado ⁡ ( norte π X a ) mi − i ω norte t
Ahora, ¿no puedo simplemente encontrar la doble derivada de una función discontinua tomando una derivada de la suma infinita?
Las aproximaciones son válidas, siempre que sus resultados se acerquen a lo que se espera que sea cierto. En su problema dependiente del tiempo, esto es cierto cuando no mira demasiado cerca del borde del pozo, donde está el problema con las condiciones de contorno. Aquí también es donde la expansión no le dará el resultado correcto. Griffiths es realmente conocido por sus errores y problemas mal planteados. Prefiero Schiff, pero es antiguo. Landau es aún mejor, pero no es para principiantes.
¿Es necesario que la función de onda sea continua y satisfaga otras condiciones de contorno?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v