¿Es la Ley de la Gravedad de Newton consistente con la Relatividad General?

La respuesta de Eric no es realmente correcta (o al menos no está completa). Por ejemplo, no le dice nada sobre el movimiento de dos cuerpos pesados ​​​​comparables (y, de hecho, este problema es muy difícil en GR, en marcado contraste con el caso newtoniano). Así que permítanme hacer sus declaraciones un poco más precisas.

El enfoque correcto es tratar la gravedad newtoniana como una perturbación del espacio-tiempo plano de Minkowski . uno escribe$g = \eta + h$para la métrica de este espacio-tiempo ($\eta$siendo métrica de Minkowski y$h$siendo la perturbación que codifica la curvatura del espacio-tiempo) y linealizar la teoría en$h$. Al hacer esto, en realidad se obtiene mucho más que solo la gravedad newtoniana, a saber, el gravitomagnetismo , en el que también se pueden investigar las propiedades dinámicas del espacio-tiempo no incluidas en la imagen newtoniana. En particular la propagación de ondas gravitacionales.

Ahora bien, para recuperar la gravedad newtoniana tenemos que hacer una aproximación más. Solo date cuenta de que la gravedad newtoniana no es relativista, es decir, viola la velocidad finita de la luz. Pero si suponemos que$h$cambia lentamente y hacemos cálculos, encontraremos que la métrica de perturbación$h$codifica el potencial de campo newtoniano$\Phi$y que el espacio-tiempo está curvado precisamente en la forma de reproducir la gravedad newtoniana. O más bien (desde la perspectiva moderna): la imagen newtoniana es, de hecho, una descripción correcta de GR a baja velocidad y casi plana.

Sí, en el límite adecuado. Aproximadamente, el estudio del movimiento geodésico en la solución de Schwarzschild (que es radialmente simétrica) se reduce a la gravedad newtoniana a distancias suficientemente grandes y velocidades lentas. Para ver cómo funciona esto exactamente, uno debe observar más específicamente las ecuaciones.

El problema principal aquí es este: Newton nos da fórmulas para una fuerza, o un campo, si se quiere. Einstein nos da ecuaciones más genéricas a partir de las cuales derivar fórmulas gravitatorias. En este contexto, primero se debe encontrar una solución a las ecuaciones de Einstein. Esto se representa mediante una fórmula. Esta fórmula es lo que podría o no ser aproximadamente igual a las leyes de Newton.

Dicho esto, como se respondió en otra parte, hay una solución que es muy similar a la de Newton. Es una solución muy importante que describe el campo en el espacio libre.

Puede encontrar más información sobre esta fórmula: en la jerga es una métrica, aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_metric

El hecho de que sean aproximaciones surge fundamentalmente de diferentes factores: el hecho de que son leyes invariantes bajo una serie de transformaciones, pero principalmente preocupaciones de relatividad especial, en otras palabras, sin acción a distancia, es uno grande.

Las cuatro respuestas coinciden en decir « no ». La Ley de Newton no es consistente con la Relatividad General. Pero las cuatro respuestas señalan que la Ley de Newton a veces es una aproximación razonable y se puede derivar de las Ecuaciones de Eintein descuidando algunos términos e introduciendo algunas aproximaciones.

La Ley de la Gravedad de Newton también es consistente con la Relatividad General a alta velocidad :)

Consideremos la ecuación de Newton de conservación de energía para caída libre desde el infinito con velocidad inicial del objeto igual a cero:

$\large {mc^2=E-\frac{GMm}{R}}$

o

$\large {mc^2=E-\frac{R_{g*}}{R}\;mc^2}$dónde$\large {R_{g*}=GM/c^2}$

asi que

$\large {E=mc^2\left(1+\frac{R_{g*}}{R}\right)=mc^2\left(\frac{R+R_{g*}}{R}\right)}$

Ahora

$\large {mc^2=E\;\frac{R}{R+R_{g*}}=E\left(1-\frac{R_{g*}}{R+R_{g*}}\right)}$

y como resultado

$\bf\large {mc^2=E-\frac{GM}{R+R_{g*}}\;\frac{E}{c^2}}$

Comparar con

$\bf\large {mc^2=E-\frac{GMm}{R}}$

En la ecuación resultante energía ($E/c^2$) es atraído, no la masa ($m$). Es por eso que el corrimiento al rojo gravitacional es el mismo en Newton Gravity y en General Relativity (por$R>>R_g$).

Una ligera modificación de la ecuación de Newton describe el movimiento radial de un objeto a cualquier velocidad con diferentes condiciones iniciales de la misma manera que la Relatividad General. No solo caída libre desde el infinito con velocidad inicial igual a cero.

$\bf\large {E_1\left(1-\frac{GM}{c^2(R_1+R_{gm}+R_{gM})}\right)=E_2\left(1-\frac{GM}{c^2(R_2+R_{gm}+R_{gM})}\right)}$

¡Y no tiene ninguna singularidad! Así que me gusta :)

Puede ser que Gerber no supiera dar una explicación exacta de su fórmula, 18 años antes de GR, sobre el avance del perihelio de Mercurio como podemos ver en mathpages . Después de leer la excelente explicación sobre los potenciales retardados de Lienard & Wiechert en el libro en línea de Hans de Vries , creo que el tratamiento del tema no es correcto en las páginas de matemáticas.

Me parece que Walter Orlov, 2011 tiene una buena manera de explicar por qué la fórmula de Gerber es correcta para explicar la órbita de Mercurio.

La respuesta es que son mutuamente consistentes porque la gravedad de Gerber (tratamiento posnewtoniano con potenciales retardados) es consistente con las observaciones, al igual que con la formulación de GR.

Antes de que pueda preguntar '¿Necesito GR para explicar las observaciones?' Necesito estar seguro de que Orlov lo hizo bien.