Constante gravitacional en la gravedad newtoniana frente a la relatividad general

Según tengo entendido, la constante gravitacional GRAMO es una constante de proporcionalidad utilizada por Newton en su ley de gravitación universal (que se basó en las leyes de Kepler), es decir, en la ecuación F = GRAMO ⋅ METRO ⋅ metro r 2 . Más tarde, Einstein presentó una teoría diferente para la Gravedad (basada en el principio de equivalencia), a saber, la Relatividad General, que concluyó que la ley de Newton era simplemente una aproximación (bastante decente) a una realidad más compleja. Matemáticamente hablando, la teoría de Einstein era completamente diferente de la teoría de Newton y se basaba en sus ecuaciones de campo, que también incluían GRAMO en uno de sus términos.

¿Cómo es que dos teorías diferentes que se derivan de postulados completamente diferentes terminan teniendo la misma constante? GRAMO con el mismo valor numérico aparecen en sus ecuaciones? que hace exactamente GRAMO ¿representar?

Supongo que una forma de ver esto sería resolver las ecuaciones de Einstein para un campo débil, gramo m v = η m v + h m v y verias que los dos GRAMO ′ s son iguales.

Respuestas (1)

Dado que en el límite de los campos gravitatorios débiles debería recuperarse la gravitación newtoniana, no es de extrañar que la constante GRAMO aparece también en las ecuaciones de Einstein. Usando solo las herramientas de la geometría diferencial, solo podemos determinar las ecuaciones de campo de Einstein hasta una constante desconocida k :

GRAMO m v = k T m v .
Que esta ecuación debería reducirse a la ecuación newtoniana para el potencial ϕ ,
(1) ∇ 2 ϕ = 4 π GRAMO ρ
con ρ la densidad fija la constante (2) k = 8 π GRAMO C 4 .

En detalle, se supone una métrica casi plana, gramo m v = η m v + h m v dónde η m v es plano y h m v es pequeño. Luego, al escribir la ecuación geodésica, se encuentra que si h 00 = 2 ϕ / C 2 , se obtiene la segunda ley de Newton,

(3) X ¨ i = − ∂ i ϕ .
Usando (3) y tomando T m v = ρ tu m tu v para 4 velocidades tu m con componentes espaciales pequeños, el 00 componente de las ecuaciones de campo (2) es
2 ∂ i ∂ i ϕ / C 2 = k ρ C 2 .
Para hacer coincidir esto con (1), debemos tener k = 8 π GRAMO C 4 . (Los cálculos detallados aquí son, como suele ser el caso en relatividad, bastante largos y aburridos, por lo que se omiten).

Pero cuando consideramos campos gravitatorios débiles, no obtenemos exactamente la Ley de Newton, solo una buena aproximación. ¿Significa esto que obtenemos una versión ligeramente diferente (pero totalmente utilizable bajo verificación experimental)? GRAMO , o terminamos obteniendo el valor numérico exacto para GRAMO como en las Leyes de Newton?
@Disousa: en realidad, para el caso de órbitas con momento angular cero fuera de una distribución de masa esféricamente simétrica, las ecuaciones son idénticas en relatividad total y en el caso newtoniano.
@Disousa No. Incluso sin el comentario de Jerry, la respuesta sería no. La situación es completamente análoga al siguiente problema: determinar k ~ de modo que ϕ ↦ pecado ⁡ ( k ~ ϕ ) y ϕ ↦ k ϕ tienen la misma pendiente en ϕ = 0 . Sólo uno k ~ se ajustará a la factura: k ~ = k . En ese sentido, los "valores numéricos exactos" son los mismos. Podríamos terminar midiendo un experimento GRAMO con mayor precisión que cuando solo conocíamos la ley de Newton y, por lo tanto, descubrimos que necesitamos cambiar nuestro valor de GRAMO , pero esto también significaría que nosotros ....
... la constante en la ley de Newton que deberíamos usar también debería actualizarse.
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