Modificación de la gravedad newtoniana para que se ajuste a la precesión observada de la órbita de Mercurio

Aquí hay un par de referencias que describen los usos profesionales de un formalismo posnewtoniano para modelar los planetas y la Luna de la Tierra:

Standish, et al. "Efemérides orbitales del sol, la luna y los planetas", Suplemento explicativo del Almanaque astronómico (1992): 279-323.
La ecuación relevante es 8-1 en la página 3.

Petit y Luzum (eds.), "Nota técnica del IERS n.º 36, Convenios del IERS (2010)", Servicio internacional de sistemas de referencia y rotación de la Tierra , Fráncfort, Alemania (2010). Querrá ver el capítulo 10. Este describe la Luna, pero no los planetas. El enfoque del IERS es la Tierra.

Tenga en cuenta que el documento IERS describe escalas de tiempo relativistas. Mezclar y combinar las escalas de tiempo no relativistas que usamos para mantener el tiempo en la superficie de la Tierra con un formalismo posnewtoniano no da para mucho. JPL (la primera referencia) utiliza su propia escala de tiempo relativista, T _eph . Esto ahora está muy cerca de una de las escalas de tiempo definidas oficialmente, Barycentric Dynamical Time (TDB). El documento IERS utiliza una escala de tiempo relativista diferente que no funciona con los relojes terrestres.

(Nota: el acrónimo no coincide con el nombre. Eso es intencional. El acrónimo oficial es la abreviatura del nombre francés "Temps Dynamique Barycentrique", independientemente del idioma que use para el nombre completo).

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Editar: con respecto a la versión simplificada especificada en la pregunta

Mi vieja, vieja copia de Marion, Classical Dynamics tiene algo muy parecido a la fórmula en la pregunta. Extiende la relación newtoniana

$$\frac{d^2}{d\theta^2}\left(\frac 1 r\right) + \frac 1 r = -\frac m {l^2}r^2 F(r) = GM \frac {m^2}{l^2}$$

a

$$\frac{d^2}{d\theta^2}\left(\frac 1 r\right) + \frac 1 r = GM \frac {m^2}{l^2} + \frac {3GM} {r^2 c^2}$$

de cuál se modificó la fuerza$F(r)$se puede expresar como

$$F(r) = -\frac {GMm}{r^2}\left( 1 + \frac{3 \, l^2}{m^2c^2 r^2} \right)$$

Usando$\vec l \equiv \vec r \times (m \vec v)$, esto se puede reescribir como

$$F(r) = -\frac {GMm}{r^2} \left( 1 + \frac{3 \, ||\vec r \times \vec v||^2}{c^2 r^2} \right)$$