¿Es incorrecto este factor de simetría en Peskin?

Question

¿Es incorrecto este factor de simetría en Peskin?

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yossarian

Estoy tratando de calcular el factor de simetría de un diagrama de Feynman en $\phi^4$ pero no obtengo el resultado Peskin Claims. Este es el diagrama que estoy considerando.

ingrese la descripción de la imagen aquí

{(\frac{1}{4!})}^{3} ϕ (X) ϕ (y) \int d^{4} z ϕ ϕ ϕ ϕ \int d^{4} w ϕ ϕ ϕ ϕ \int d^{4} v ϕ ϕ ϕ ϕ

$\left(\frac{1}{4!}\right)^3\phi(x)\phi(y)\int{}d^4z\,\phi\phi\phi\phi\int{}d^4w\,\phi\phi\phi\phi\int{}d^4v\,\phi\phi\phi\phi$

mi intento es el siguiente: hay 4 formas de unirse $\phi(x)$ con $\phi(z)$ . Entonces hay 3 formas de conectar $\phi(y)$ con $\phi(z)$ . Entonces, hay 8 formas de conectarse $\phi(z)$ con $\phi(w)$ y 4 formas de contratar el resto $\phi(w)$ con $\phi(v)$ . Finalmente existen 6 formas de contratar el $\phi(w)$ y los tres $\phi(v)$ en parejas

{(\frac{1}{4!})}^{3} \dot{} 4 \dot{} 3 \dot{} 8 \dot{} 4 \dot{} 6 = \frac{1}{6}

$\left(\frac{1}{4!}\right)^3\dot{}4\dot{}3\dot{}8\dot{}4\dot{}6=\frac{1}{6}$

pero el resultado reclamado en Peskin (página 93) es $1/12$ . ¿Qué estoy haciendo mal?

alto

Ayudaría si indicaras qué puntos son z, w y v... ¿Supongo que w y v son los puntos equivalentes?...

yossarian

@hft sí w y v son los puntos equivalentes

alto

Hmm... en realidad, ahora que estoy tratando de resolverlo explícitamente, también termino con 1/6... ¿estás seguro de que la respuesta en Peskin es correcta?

yossarian

@hft no, no lo soy

alto

Lo tengo. lo consiguió Todos los puntos z, w, v deben considerarse como el punto simétrico y luego ¡hay un 1/3 adicional! de expandir la exponencial. Escribiré una respuesta.

Respuestas (2)

¿Es incorrecto este factor de simetría en Peskin?

Ayudaría si indicaras qué puntos son z, w y v... ¿Supongo que w y v son los puntos equivalentes?...
Hmm... en realidad, ahora que estoy tratando de resolverlo explícitamente, también termino con 1/6... ¿estás seguro de que la respuesta en Peskin es correcta?
Lo tengo. lo consiguió Todos los puntos z, w, v deben considerarse como el punto simétrico y luego ¡hay un 1/3 adicional! de expandir la exponencial. Escribiré una respuesta.

alto · Answer 1

¿Qué estoy haciendo mal?

La expansión de $e^x$ es:

{mi}^{X} = 1 + X + X^{2} / 2 + X^{3} / 3! + \dots

$e^x=1+x+x^2/2+x^3/3!+\ldots$

De la expansión de la expresión:

⟨ ϕ_{X} ϕ_{y} Exp (- \frac{λ}{4!} \int d z ϕ_{z}^{4}) ⟩,

$\left<\phi_x\phi_y\exp{\left(-\frac{\lambda}{4!}\int dz \phi_z^4\right)}\right>\;,$ el término de tercer orden es:

⟨ ϕ_{X} ϕ_{y} \frac{1}{3!} {(\frac{- λ}{4!})}^{3} \int d z \int d w \int d v ϕ_{z} ϕ_{z} ϕ_{z} ϕ_{z} ϕ_{w} ϕ_{w} ϕ_{w} ϕ_{w} ϕ_{v} ϕ_{v} ϕ_{v} ϕ_{v} ⟩

$\left< \phi_x\phi_y\frac{1}{3!}{\left(\frac{-\lambda}{4!}\right)}^3\int dz \int dw \int dv \phi_z\phi_z\phi_z\phi_z \phi_w\phi_w\phi_w\phi_w \phi_v\phi_v\phi_v\phi_v \right>$

Hay cuatro (4) formas de conectar x con z y luego tres (3) formas de conectar y con z. Hay cuatro formas (4) de conectar uno de los zs restantes a aw y cuatro formas de conectar el otro z restante a av (4), esto se puede hacer para cualquiera de los dos zs restantes (2), es decir, el " el tercer" z puede conectarse a w o el "cuarto" z puede conectarse a w. Hay seis (3!) formas de conectar los restantes ws y vs. Y finalmente, no hay nada especial en "z", puedo tratar "w" de la misma manera que "z" o "v" de la misma manera que "z", por lo que da otro factor de tres (3).

Entonces el factor de simetría general es:

4 * 3 * 4 * 4 * 2 * 3 * 2 * 3 \frac{1}{3!} \frac{1}{4!^{3}} = \frac{1}{12}

$4*3*4*4*2*3*2*3\frac{1}{3!}\frac{1}{4!^3}=\frac{1}{12}$

Abdelmalek Abdesselam · Answer 2

Contrariamente a su pregunta anterior Problema para comprender el factor de simetría en un diagrama de Feynman, los roles de los tres vértices no son diferentes, por lo que tiene de la expansión de la exponencial a $1/3!$ pero no se compensa con la elección de la asignación de roles. Aquí esta elección equivale a decidir quién se conecta directamente a $x$ y $y$ y eso es. Así que tienes $\frac{3}{3!}=\frac{1}{2}$ . Además, el grupo de simetría tiene orden 12 porque puede permutar las 3 líneas del diagrama de sol incrustado y también puede rotarlo con respecto a un eje vertical.

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yossarian

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Respuestas (2)

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Abdelmalek Abdesselam

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