Un enfoque bastante estándar del platonismo matemático podría comenzar con la observación de que cualquier círculo realmente dibujado no es un círculo verdadero; y uno puede imaginar o tener en mente un círculo perfecto, un círculo universal, digamos; esto está tomado de la teoría de Platón de las Formas o Universales.
Esto es bastante fácil de imaginar, pero no sigue siendo así, al menos para mí, cuando considero los números: aquí hay dos botellas, tres piedras o cinco guijarros; sin embargo, no puedo imaginar, quiero decir en el sentido de visualizar, los números dos, tres o cinco; aunque puedo trabajar bastante fácilmente con ellos.
¿Se debe hacer entonces una distinción entre un platonismo matemático geométrico y una versión aritmética? Quiero decir, ¿realmente se hace uno en el platonismo matemático?
Siento que esta pregunta se basa en un malentendido del platonismo matemático. El platonismo matemático no es, estrictamente hablando, parte del platonismo. El nombre surge de una especie de analogía con el platonismo. El platonismo matemático es la opinión de que el lenguaje de las matemáticas se refiere y cuantifica sobre objetos matemáticos abstractos, y que estos objetos son independientes de cualquier agente racional.
El ideal matemático de la dualidad no son dos guijarros o dos botellas. Es (normalmente) el conjunto {{}, {{}}}. Puedes usar otra definición, pero esta es la construcción más común de los cardenales. Asimismo, los demás números naturales se definen (recursivamente) de la siguiente manera:
0 = {}
1 = {{}}
2 = {{}, {{}}}
3 = {{}, {{}}, {{}, {{}}}}
n = {0, 1, . .. , n - 1}
No tiene sentido que un círculo sea más abstracto que el número 2. Todos son objetos abstractos. Preguntar si son objetos del mismo tipo es complicado porque para que sea significativo, eso debe hacerse dentro de un contexto matemático, y las matemáticas son muy cuidadosas al asignar estructura a los objetos. Por ejemplo, estrictamente hablando, el grupo de números enteros y el anillo de números enteros son objetos diferentes. Algunos objetos matemáticos tienen propiedades aritméticas, algunos geométricos, algunos ambas y algunos ninguna.
Platón enfatiza que tenemos dos formas de obtener conocimiento, nuestros sentidos y nuestro pensamiento. Al dominio de las formas sólo tenemos acceso pensando. Por lo tanto, captamos la idea del círculo, así como otras ideas matemáticas, únicamente por nuestro pensamiento.
En el simposio, Platón describe el ascenso al dominio de las ideas como una especie de intuición mística. Pero incluso cuando Platón emplea las palabras "ver la idea de la belleza", siempre se refiere a intuir la idea por nuestra mente.
En su última filosofía, Platón inicia algunas especulaciones sobre los números. Posiblemente existió una conferencia "Sobre el bien" que también trataba sobre números. Aristóteles se refiere a la concepción de los números de Platón en la Metafísica (Libro 1, 987b15): Los números son considerados un tercer tipo de entidades, entre las entidades sensibles y las formas. Además, Aristóteles refiere: Los números nacen participando en el Uno (987b21f).
En cualquier caso, según Platón no captamos los números con los ojos sino con la mente. Por lo tanto, el platonismo matemático no es necesariamente geométrico.
En mi opinión, todas las ideas platónicas y también los números están formados por abstracción: de "dos botellas, dos personas, dos árboles" abstraemos al número Dos .
Además de lo anterior, me gustaría señalar que parece haber una serie de significados asociados al término "platonismo matemático", además de lo que podría llamarse las matemáticas y el idealismo de Platón.
Los Principia de Russell y Whitehead podrían describirse como un platonismo matemático reducido a formas lógicas e incluyendo números. Godel escribió sobre su propio platonismo matemático, que era bastante "platónico". Penélope Maddy y algunos otros filósofos, por otro lado, han intentado desarrollar un "platonismo matemático", que incluye números, basado en la teoría de conjuntos y una "epistemología naturalizada" que correlaciona "conjuntos" con "identidad de objeto" en el desarrollo infantil y la creación de "ensamblajes celulares" neuronales. Así que el término ni siquiera se restringe al idealismo.
Personalmente, encuentro fascinante que la geometría en la época de Platón evitara los números y demostrara las pruebas utilizando únicamente el compás y la regla. Esto significaba que las "Formas" presumiblemente se "Realizaban" a través de movimientos manuales, no muy diferentes a la música, el lenguaje de señas o la carpintería. Una forma muy diferente, y quizás superior, de desarrollar intuiciones matemáticas. Una pena que ya no se enseñe así.
Jo Wehler
Stella Biderman