Cuando se llaman a sí mismos "platónicos", los matemáticos generalmente quieren decir que sienten que descubren hechos ideales que existen eternamente de alguna manera. Mi pregunta es si este sentimiento es consistente con la forma particular de idealismo de Platón.
Ya en la época de Platón entró en conflicto con la práctica matemática existente. Platón se burló en República de la apariencia de "convertirse" en la forma en que operaban los geómetras " la ciencia en sí misma es totalmente opuesta a las pruebas tal como las declaran sus practicantes ... Hablan, supongo, muy risiblemente y forzadamente, porque mencionan el cuadrado , aplicando y añadiendo, y expresan todas sus afirmaciones como si estuvieran involucradas en la acción y modelando todas sus pruebas por el bien de la acción ". Según Plutarco, también se opuso muy fuertemente al uso del movimiento, en particular las curvas generadas mecánicamente, por Arquitas y Eudoxo, " porque así se destruye y se corrompe el bien de la geometría que recurre de nuevo a las cosas sensibles y no asciende ni se aferra a las imágenes eternas e incorpóreas". El movimiento era aceptable para "salvar los fenómenos" únicamente, no en las matemáticas puras como tales.
Con la notable excepción de Euclides, los geómetras griegos ignoraron en gran medida las prohibiciones de Platón sobre el movimiento, proliferaron las curvas mecánicas (espiral de Arquímedes, etc.). La idea de Platón de que el lenguaje del devenir era "forzosamente" fue cuestionada por Menaechmus, el fundador de la teoría de las secciones cónicas, quien en un debatecon el sucesor de Platón, Espeusipo implicaba que los geómetras querían decir lo que decían. De hecho, el reino ideal está reñido con la organización jerárquica de las matemáticas al construir objetos complejos a partir de objetos más simples que aparece claramente incluso en Euclides. ¿Qué estatus posible tendrían las construcciones matemáticas para objetos inmutables eternamente coexistentes? Desde entonces, el cálculo "trajo movimiento a las matemáticas", y las construcciones jerárquicas son esenciales para dar forma a la estructura incluso de las matemáticas puras, y parte de su atractivo, en lugar de figuras retóricas "forzosamente".
PREGUNTA: Entonces, ¿Platón estaba aplicando mal su filosofía, y en sí mismo no lleva a sus conclusiones sobre la práctica matemática? ¿O la autoidentificación platónica es un nombre inapropiado y los matemáticos realmente simpatizan con algún otro tipo de idealismo? ¿Se discutieron el movimiento y las construcciones matemáticas en el contexto del platonismo posterior al Renacimiento? ¿Se puede reconciliar el platonismo consecuente con las matemáticas modernas?
EDITAR: Me gustaría aclarar que la construcción matemática no se entiende en el sentido estricto de constructivismo, aunque ciertamente califican. Pero las matemáticas modernas también están llenas de construcciones altamente no constructivistas, como la generación de ordinales y cardinales de Cantor, o ideales maximales, cierres algebraicos y todo lo demás relacionado con el axioma de elección. Toda la arquitectura de la matemática pura se basa en esto, las relaciones y funciones se construyen a partir de conjuntos, grupos, posets, etc. son conjuntos con relaciones y funciones, luego hay espacios de funciones sobre ellos, operadores y funcionales sobre esos, y sobre y en.
Estar de acuerdo con Platón parece disminuir la importancia de estas construcciones jerárquicas, si no descartarlas como charlatanería. Después de todo, las pruebas consisten en reducir hechos sobre estructuras complejas a piezas más simples, no en "ascender y asir" sus "imágenes eternas e incorpóreas" en su finalidad inmóvil.
El platonismo matemático, o platonismo de manera más general (con la 'p' minúscula), sostiene las siguientes tres tesis sobre los objetos matemáticos: (i) existen, (ii) son abstractos y (iii) son independientes de los agentes inteligentes. Esto es típicamente todo lo que los matemáticos quieren decir cuando dicen que son platónicos, y difieren en sus compromisos posteriores. Platón también mantendría estas tres premisas (de esa manera, el platonismo es compatible con el platonismo ), pero tradicionalmente se considera que su metafísica se extiende más allá, comprometiéndolo con posturas que la mayoría de los matemáticos no sostienen. Así, yo diría que el platonismo matemático no es compatible con el platonismo .
Como primer ejemplo, consideremos la ética y la existencia de verdades morales. Obviamente, para Platón, formas como el Bien y la Justicia tienen el mismo tipo de existencia que el Triángulo. Para los matemáticos, hay mucha variación. Algunos, como Gódel, se comprometerán con un platonismo metafísico completo que se extiende a la ética, de ahí su argumento ontológico para la existencia de Dios , por ejemplo (aunque nótese una diferencia importante, Platón no llegaría al mismo extremo que Gódel para ver si alguna Forma existe o no). Otros, como Russell, no creen que haya un Bien objetivo; para ver esto, lea sobre su muy conciso "¿Existe un bien absoluto?". Tenga en cuenta que con Russell es un poco difícil ver si mantuvo el platonismo matemático y sus posiciones morales al mismo tiempo, dado que pasó por al menos tres etapas distintas y las matemáticas son principalmente Russell temprano, mientras que la ética es Russell medio y tardío. Sin embargo, desde mi experiencia personal, muchos matemáticos no serían platónicos con respecto a la ética.
Para un segundo ejemplo, consideremos la epistemología. Para Platón, simplemente 'recordamos' las Formas, no las descubrimos. Muchos matemáticos podrían objetar esta perspectiva. Aunque nuevamente, hay cierta heterogeneidad aquí, para algunos simplemente 'vemos con nuestra intuición' (no tan diferente del recuerdo de Platón) una verdad matemática y luego construimos una prueba para guiar a otros a lo que vimos, al igual que Sócrates podría guiar al esclavo. chico.
Para un tercer ejemplo, consideremos los particulares. Para Platón, sobre todo en la alegoría de la caverna, los particulares son del mismo "tipo" que las Formas, pero se degradan al ser corpóreos. Las Formas son, de algún modo, causas de los particulares. No creo que muchos matemáticos suscriban este punto de vista. Creo que muchos de ellos se suscribirían implícitamente a una forma de dualismo similar al de Frege, otro platónico matemático notable, y pensarían en mundos separados de lo abstracto y lo empírico, siendo la efectividad de las matemáticas en las ciencias una selección. sesgo o irrazonable .
Para un cuarto ejemplo, consideremos la estructura. Como notó, las formas de los matemáticos no son soledad y el universo que los matemáticos imaginan está estructurado de alguna manera y usan esa estructura para navegar ese universo. No está claro que las Formas de Platón tengan esta estructura; en la mayoría de las lecturas, las diversas formas están más bien aisladas entre sí.
Hay un dicho que dice que los matemáticos son formalistas los días laborables y platónicos los fines de semana. Esto sugiere que la mayoría del trabajo "real" debe ser formal, pero muchos matemáticos creen que los objetos subyacentes son "reales". Esto no es contradictorio, en mi opinión. Es simplemente una aproximación útil.
El formalismo no requiere realidad y nos da toda la maquinaria para hacer nuestro trabajo. Pero eso no significa que no pensemos que el formalismo apunta a alguna posibilidad de que ciertas estructuras matemáticas realmente existan. Creo que hay una fuerte evidencia empírica y heurística de que existen los números naturales, por ejemplo. Y si esto es así, entonces muchas de las construcciones a partir de números naturales (enteros, racionales, reales) también deberían existir.
Así que tenemos reglas que definen el infinito. Pero parecen consistentes con la realidad finita.
Conifold
Artem Kaznatchev
David Gudeman