¿Es el principio de mínima acción un problema de valor límite o de condición inicial?

I) Los problemas de valor inicial y los problemas de valor límite son dos clases diferentes de preguntas que podemos hacer sobre la naturaleza.

Ejemplo: Para ser concreto:

1. un problema de valor inicial podría ser preguntar sobre la trayectoria clásica de una partícula si la posición inicial$q_i$y la velocidad inicial$v_i$son dados,

2. mientras que un problema de valores en la frontera podría ser preguntar sobre la trayectoria clásica de una partícula si la posición inicial$q_i$y la posición final$q_f$se dan (es decir, condiciones de contorno de Dirichlet).

II) Para los problemas de valores en la frontera, no hay teleología , porque no estamos derivando una predicción (100 por ciento cierta determinista) sobre el estado final, sino que simplemente estamos afirmando que si el estado final es tal o cual, entonces podemos derivar tal y tal.

III) Primero discutamos el caso clásico. Por lo general, las ecuaciones de evolución (también conocidas como ecuaciones de movimiento (eom), por ejemplo, la segunda ley de Newton) son conocidas y, en particular, no dependen de si queremos plantear una pregunta de valor inicial o una pregunta de valor límite.

Supongamos que el eom puede derivarse de un principio de acción. (Entonces, si nos hemos olvidado de los eom, siempre podemos volver a derivarlos haciendo el siguiente cálculo adicional: Varíe la acción con valores límite fijos (pero arbitrarios) para determinar el eom. Los valores fijos específicos en el límite no importa porque solo queremos que se nos recuerde el eom, no para determinar una solución real, por ejemplo, una trayectoria).

IV) A continuación, consideremos un problema de valor inicial o un problema de valor límite que nos gustaría resolver.

En primer lugar, si tenemos un problema de valor inicial, podemos resolver el eom directamente con las condiciones iniciales dadas. (Parece que aquí es donde OP podría querer establecer un problema de valor límite, pero ese sería precisamente el cálculo adicional mencionado en la sección III, y no tiene nada que ver con el problema de valor inicial en cuestión).

En segundo lugar, si tenemos un problema de valores en la frontera, hay dos posibilidades:

1. Podríamos resolver el eom directamente con las condiciones de contorno dadas.

2. Podríamos plantear un problema variacional utilizando las condiciones de contorno dadas.

V) Finalmente, mencionemos brevemente el caso cuántico. Si tratamos de formular la integral de trayectoria

como problema de valor inicial, nos enfrentaríamos a varios problemas:

1. El concepto de camino clásico estaría mal definido. Esto se relaciona con que el concepto de derivada funcional

   $$\frac{\delta S[q]}{\delta q(t)}$$ estaría mal definido, básicamente porque no podemos aplicar el truco habitual de integración por partes cuando los términos de frontera (finales) no desaparecen.

2. Para especificar tanto la posición inicial$q_i$y la velocidad inicial$v_i$violaría el principio de incertidumbre de Heisenberg .

La derivación habitual de las ecuaciones de Euler-Lagrange nos obliga a suponer que tanto las condiciones iniciales como las finales son fijas. Sin embargo, cuando uno realmente deriva las ecuaciones, ve que hay ecuaciones diferenciales en el tiempo, por lo que a partir del conocimiento del estado inicial, incluidas las velocidades (o cualquier derivada que se necesite para especificar el punto inicial del espacio de fase), uno puede derivar los valores en un momento infinitesimalmente posterior.

Por eso el carácter "teleológico", acausal del principio de mínima acción es sólo una ilusión. La trayectoria en el tiempo$t$realmente no depende de ningún valor "supuesto" de los campos en momentos posteriores. Este hecho puede no ser obvio inmediatamente, cuando se formula el principio, pero sin embargo es verdadero y fácil de ver a través de la derivación matemática de lo que implica el principio.

La mejor manera de entender esta propiedad teleológica es la integral de trayectoria --- se requiere la condición límite final porque la acción es la fase de amplitud para una trayectoria, y la condición estacionaria dice que está tomando la trayectoria de la fase estacionaria, de modo que las contribuciones se suman coherentemente.

Entonces se manifiesta la relación entre ésta y la formulación diferencial, como explica Lubos Motl. La condición para una trayectoria extrema se aplica mediante una ecuación diferencial local. Esto no es misterioso, porque la suma de todos los caminos no es teleológica en absoluto, se vuelve teleológica cuando consideras que pareces haber tomado un camino estacionario, pero esto es una consecuencia de la cancelación del camino estacionario.

Este papel:

La "derivación" de Feynman de la ecuación de Schrödinger

menciona de manera importante que cualquier cosa que sea cierta sobre el "camino completo" también debe ser cierto sobre porciones del camino, incluidas las porciones infinitesimales. Si la acción no fue extrema en alguna parte de la ruta, entonces esa parte podría reemplazarse con otra subruta para la que lo fue, en conflicto con la suposición inicial de que la ruta completa era extrema.

Entonces, el principio de acción mínima también se aplica a las porciones de la ruta, incluidas las porciones infinitesimales. Tengo la sensación de que, estrictamente hablando, así es como terminamos obteniendo el eom.

Matemáticamente es un problema de valores en la frontera por definición, pero físicamente se practica como un problema de condición inicial. Recuerda la ecuación de Newton: