Derivación de Goldstein del 'principio de mínima acción'

Ya hay varias buenas respuestas que muestran el álgebra. Aquí haremos algunos comentarios a la pregunta (v4) sobre terminología y notación, que pueden aclarar una o dos cosas. (A continuación nos referiremos a la$q$posicionar el espacio como el espacio vertical y el$t$eje del tiempo como el espacio horizontal .)

1. Por lo general, el principio de acción mínima se refiere al principio de acción estacionaria/principio de Hamilton

   $$\delta \int_{t_i}^{t_f}\! dt~ L~=~0. \tag{2.2}$$ En este principio variacional, la variación infinitesimal$\delta q^i$es puramente vertical$\delta t=0$, y los tiempos inicial y final$t_i$y$t_f$se mantienen fijos.

2. Tenga en cuenta que lo que Goldstein en Ref. 1 llama de forma confusa el principio de acción mínima suele llamarse principio de acción abreviada/principio de Maupertuis

   $$\Delta \int_{t_i}^{t_f}\! dt~p_j \dot{q}^j~~=~0, \tag{8.80}$$ cf. por ejemplo, ref. 2. En este principio variacional, la variación infinitesimal $$\Delta q^j~=~ \delta q^j + \dot{q}^j \Delta t \tag{8.76}$$ ahora se compone de variaciones verticales y horizontales. la energia total$E$de todos los caminos se mantiene fijo y el mismo; mientras que los tiempos inicial y final$t_i$y$t_f$son gratis.

3. Para los sistemas autónomos , los dos principios variacionales anteriores pueden verse como transformadas de Legendre entre sí con respecto a las variables duales de Legendre.

   $$E\quad\longleftrightarrow\quad \Delta t~:=~t_f-t_i.$$ En ambos principios variacionales, solemos mantener las posiciones inicial y final$q^j_i$y$q^j_f$fijado.

Referencias:

1. H. Goldstein, Mecánica Clásica; Sección 8.6.

2. LD Landau y EM Lifshitz, Mecánica, vol. 1, 1976;$\S 44$.

puedes romper$\int_{t_1+\Delta t_1}^{t_2+\Delta t_2} L(\alpha) dt$en$\left( \int_{t_1 + \Delta t_1}^{t_1} +\int_{t_1}^{t_2} + \int_{t_2}^{t_2+\Delta t_2}\right)L(\alpha) dt$. Entonces de estas tres piezas, la$\int_{t_1}^{t_2}$pieza combina con la$-\int_{t_1}^{t_2} L(0) dt$pieza para darte la$\int_{t_1}^{t_2} \delta L dt$.

Esto significa que$\left( \int_{t_1 + \Delta t_1}^{t_1} + \int_{t_2}^{t_2+\Delta t_2}\right)L(\alpha) dt$debe darte$L(t_2)\Delta t_2-L(t_1)\Delta t_1$. Veamos cómo sucede eso. En general, tenemos$\int_x^{x+h} f(x) dx = F(x+h)-F(x) \approx F'(x)h = f(x)h$, dónde$F$es una antiderivada de$f$. Aplicando esto a$\int_{t_2}^{t_2+\Delta t_2} L(\alpha) dt$, obtenemos$L(t_2)\Delta t_2$. Nótese aquí que no especificamos si$L$en esta expresión debe evaluarse en el camino real o variado. Esto se debe a que esos caminos están muy cerca uno del otro, por lo que no importa el nivel de aproximación que estemos haciendo. De todos modos, evaluando la$t_1$pieza, encontramos$\int_{t_1 + \Delta t_1}^{t_1}L(\alpha) dt=-\int_{t_1 }^{t_1+ \Delta t_1}L(\alpha) dt = -L(t_1)\Delta t_1$.

Sumando las dos piezas resultantes del párrafo anterior a la pieza resultante del primer párrafo, obtenemos$L(t_2)\Delta t_2-L(t_1)\Delta t_1 + \int_{t_1}^{t_2} \delta L dt$, que es lo que queríamos.