¿Cómo verifico si un conjunto es un espacio vectorial usando axiomas?

Question

¿Cómo verifico si un conjunto es un espacio vectorial usando axiomas?

Matemáticas
espacios vectoriales
álgebra lineal

Miguel

A. Comprueba que $\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} \middle\vert\; x, y \in \Bbb R \right\} = \Bbb R^2$ (con la suma habitual y la multiplicación escalar) satisface todas las partes en la definición de un espacio vectorial.

B. Comprueba que los números complejos $\Bbb C = \{ x + iy \mid i^2 = −1 \wedge x, y \in \Bbb R \}$ , satisface todas las partes en la definición de un espacio vectorial sobre $\Bbb C$ . Asegúrate de indicar cuidadosamente cuáles son tus reglas para la suma vectorial y la multiplicación escalar.

C. ¿Qué pasaría si usaras $\Bbb R$ como campo base para la parte B (intenta comparar con el problema A).

Tenga en cuenta que no puedo asumir ninguno de los axiomas, no sé cómo probarlos dados los criterios. Alguna dirección / repasar algunos sería muy útil. Además, explicar por qué funciona sería beneficioso. Además, no puedo explicar la Parte C incluso con una comprensión intuitiva de que ambas partes son espacios vectoriales.

yuval filmus

No necesita asumir los axiomas, ¡debe probarlos ! Solo pruébalos uno por uno.

graham kemp

Lo primero que debe hacer : averiguar cuáles son las partes de la definición de un espacio vectorial. ¿Puedes enumerarlos?

Miguel

@GrahamKemp La definición de un espacio vectorial es la siguiente:

Respuestas (1)

¿Cómo verifico si un conjunto es un espacio vectorial usando axiomas?

No necesita asumir los axiomas, ¡debe probarlos ! Solo pruébalos uno por uno.
Lo primero que debe hacer : averiguar cuáles son las partes de la definición de un espacio vectorial. ¿Puedes enumerarlos?
@GrahamKemp La definición de un espacio vectorial es la siguiente:

graham kemp · Answer 1

Un espacio vectorial es un conjunto de entidades cerradas bajo operaciones de suma vectorial y multiplicación escalar $(+, \cdot)$ .

Eso requiere conmutatividad, asociatividad, identidad e inversión de suma vectorial y asociatividad e identidad de multiplicación escalar, así como distribución de sumas escalares y de sumas vectoriales.

Adoptando la convención de denotar vectores usando letras mayúsculas y escalares usando letras minúsculas, tenemos, para todos los vectores $X,Y,Z$ y escalares $r,s$ :

\begin{array}{lll} A 1. & Conmutatividad de la suma de vectores (+) : & X + Y = Y + X \\ A 2. & Asociatividad de la suma de vectores: & (X + Y) + Z = X + (Y + Z) \\ A 3. & Identidad de suma vectorial (0) : & 0 + X = X + 0 = X \\ A 4. & Existencia de inverso aditivo para todo vector: & (\forall X) (\exists - X) (X + (- X) = 0) \\ METRO 5. & Asociatividad de la multiplicación escalar (\cdot) : & r (s \cdot X) = (r s) \cdot X \\ METRO 6. & Identidad de multiplicación escalar (1) : & 1 \cdot X = X \\ D 7. & Distributividad de sumas escalares: & (r + s) \cdot X = r \cdot X + s \cdot X \\ D 8. & Distributividad de sumas vectoriales: & r \cdot (X + Y) = r \cdot X + r \cdot Y \end{array}

$\begin{array}{lll} A1. & \text{Commutativity of vector addition }(+): & X+Y=Y+X \\ A2. & \text{Associativity of vector addition: } & (X+Y)+Z=X+(Y+Z) \\ A3. & \text{Vector addition identity }({\bf 0}): & {\bf 0}+X = X+{\bf 0} = X \\ A4. & \text{Existence of additive inverse for every vector: }&(\forall X)(\exists {-X})( X+(-X)={\bf 0}) \\ M5. & \text{Associativity of scalar multiplication }(\cdot): & r(s\cdot X)=(rs)\cdot X \\ M6. & \text{Scalar multiplication identity }(1): & 1\cdot X=X \\ D7. & \text{Distributivity of scalar sums: } & (r+s)\cdot X=r\cdot X+s\cdot X \\ D8. & \text{Distributivity of vector sums: } & r\cdot(X+Y)=r\cdot X+r\cdot Y \end{array}$

Entonces, para cada conjunto, identifique las operaciones relevantes de "suma vectorial" y "multiplicación escalar" y demuestre, una por una, cómo se cumple (o no se cumple) cada una de estas ocho propiedades.

¿Cómo verifico si un conjunto es un espacio vectorial usando axiomas?

Miguel

yuval filmus

graham kemp

Miguel

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graham kemp

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Único u∧vu∧vu\cuña v tal que (u∧v)⋅w=∣∣∣∣∣u1v1w1u2v2w2u3v3w3∣∣∣∣∣(u∧v)⋅w=|u1u2u3v1v2v3w1w2w3|(u\cuña v)\cdot w = \small\begin{vmatrix} u_1&u_2&u_3 \\ v_1&v_2&v_3 \\ w_1&w_2&w_3 \end{vmatrix} para todos los w∈R3w∈ℝ3w\inℝ^3

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