¿Existe una teoría de conjuntos donde sea posible la siguiente definición no fundamentada de los ordinales?

Me preguntaba si existe una teoría de conjuntos no bien fundamentada tal que sea posible la siguiente implementación de los ordinales.

  • 0 = ∅
  • 1 = { 1 }
  • 2 = { 1 , 2 }
  • ...
  • ω = { 1 , 2 , 3 , ⋯ }
  • ω + 1 = { 1 , 2 , 3 , ⋯ , ω + 1 }
  • ω + 2 = { 1 , 2 , 3 , ⋯ , ω + 1 , ω + 2 }

Entonces, el elemento mínimo de cualquier ordinal no vacío α es 1 , y el mayor elemento es siempre α . Los ordinales límite, que son precisamente aquellos ordinales que no llegan a tener un elemento mayor, son también precisamente los que no llegan a ser elementos de sí mismos, ni tampoco de ningún otro ordinal.

¿Existe tal teoría de conjuntos?

¿Hay alguna razón para hacer esto además de la estética? Creo que probablemente podrías hacer esto con el axioma anti-fundamento. En NF, una de las teorías de conjuntos sin fundamento, los ordinales se codifican directamente como clases de isomorfismo de conjuntos bien ordenados.
Sí, hay una razón: evita "avalanchas". Considera lo siguiente. "0,1,2,3... está bien, son 4 frutas". Los ordinales mencionados hasta ahora forman un nuevo ordinal, a saber, 5. Está bien, pero ahora los ordinales mencionados hasta ahora forman un nuevo ordinal, a saber, 6. etc. Pero considere la alternativa. "1,2,3,4... está bien, son 4 frutas". Los ordinales mencionados hasta ahora forman un nuevo ordinal, a saber... oh, es solo 4.
Para ordinales/cardinales finitos, es posible que tenga ese problema. Pero hay muy pocos ordinales finitos.
¿Hay alguna razón por la que no quieres 0 y ω para contenerse?
Sí. Si fueran elementos de sí mismos, serían su propio elemento más grande.

Respuestas (1)

Déjame hacer de abogado del diablo: acepto tu definición y luego afirmo que tienes 1 = 2 . Puede objetar que estos dos conjuntos, a saber { 1 } y { 1 , 2 } son obviamente diferentes, pero respondo que no son diferentes en nada, tienen exactamente los mismos miembros, porque el miembro aparentemente extra 2 en { 1 , 2 } es simplemente una repetición del otro miembro, 1 . ¿Puedes convencerme, usando tus definiciones, de que 1 ≠ 2 ?

No me sorprendería si al menos algunas versiones del axioma anti-fundamento realmente te permitieran probar que 1 = 2 bajo sus definiciones.

La dificultad, por supuesto, concierne no sólo 1 y 2 , pero todos los ordinales que mencionaste excepto 0 .

El axioma anti-fundamento más popular (el de Aczel) de hecho implica 1 = 2 bajo estas definiciones.
Estaba preocupado por este tipo de cosas. Sin embargo, afirmar que cada ordinal es distinto de su sucesor debería funcionar.
Entonces, ¿cuál es la forma correcta de elegir los ordinales de von Neumann si no tienes el axioma de regularidad? ¿Un conjunto es ordinal si está bien fundado, es transitivo y todos los elementos son transitivos?
¿Existe una teoría de conjuntos donde sea posible la siguiente definición no fundamentada de los ordinales?
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