La equivalencia FinVect(F)≃Matop(F)FinVect(F)≃Matop(F)\mathsf{FinVect}(F) \simeq \mathsf{Mat}^{\operatorname{op}}(F) en ZF

Question

La equivalencia FinVect(F)≃Matop(F)FinVect(F)≃Matop(F)\mathsf{FinVect}(F) \simeq \mathsf{Mat}^{\operatorname{op}}(F) en ZF

teoría de conjuntos
Matemáticas
axioma de elección
teoría de categorías

Stefan Perko

Tuve una discusión una vez sobre si la declaración:

"Para todos los campos $F$ la categoría de finito-dimensional $F$ -espacios vectoriales es equivalente a lo contrario de la categoría de $F$ -matrices, brevemente $\mathsf{FinVect}(F) \simeq \mathsf{Mat}^{\operatorname{op}}(F)$ ."

es demostrable en ZF . Argumenté en contra diciendo algo como "debería elegir una base en cada espacio vectorial".

¿Es demostrable la afirmación en ZF ? Si no, ¿cómo se compara en fuerza con otras consecuencias del axioma de elección?

Ben Grossman

¿Qué es exactamente la categoría Mat? ¿Son las matrices los objetos o las flechas?

noah schweber

¿Cuál es la categoría de las matrices F?

Stefan Perko

@Omnomnomnom Los objetos son todos enteros no negativos. un morfismo

m → norte $m\to n$ es un

m × norte $m\times n$ matriz. La composición es la multiplicación de matrices y las identidades son matrices de identidad.

Stefan Perko

Aquí el enunciado se demuestra usando el axioma de elección (cuidado con el

estera _ _ $\mathsf{Mat}$ hay lo contrario de mi

estera _ _ $\mathsf{Mat}$ ).

asaf karaguila

Es cierto que no estoy seguro de dónde entra el axioma de elección en este juego.

Stefan Perko

Lo siento, una cosa primero: realmente estoy hablando del axioma de elección global ; Me olvidé de la distinción. @AsafKaragila La afirmación de que un funtor completamente fiel y esencialmente sobreyectivo en objetos puede "extenderse" a una equivalencia de categorías necesita (alguna forma de) elección global. Sin embargo, no estoy seguro de si es equivalente en este momento, pero definitivamente no se puede probar en ZF+Classes. - Es posible que deba cambiar mi pregunta para reflejar que estoy usando clases...

Stefan Perko

En la sección "Equivalencia débil" aquí dice "Un funtor estricto con un inverso débil es necesariamente esencialmente sobreyectivo y completamente fiel; el inverso es equivalente al axioma de elección". Supongo que se entiende por elección global, si se consideran grandes categorías.

Vladímir Sotirov

¿Cuál es su definición de dimensión finita? Creo que deberías poder demostrar (sin elección) que

F i n V e c $\mathsf{FinVec}$ es isomorfo a cualquier subcategoría de

V e c $\mathsf{Vec}$ generado por un espacio vectorial (libre) de cada dimensión finita. Además, creo que también sin elección debería poder demostrar que tal subcategoría es isomorfa a

estera _ _o pag $\mathsf{Mat}^{op}$ . Entonces, el problema es construir una subcategoría de este tipo sin usar la opción, pero ¿por qué no simplemente tomar la subcategoría completa generada por los poderes cartesianos?

Fnorte $F^n$ ? creo que solo sirve

ω $\omega$ -recurrencia o algo así, no elección.

Vladímir Sotirov

(No soy un teórico de conjuntos, por lo que podría estar equivocado en las tres afirmaciones, por supuesto, pero eso es lo que intentaría de todos modos)

Stefan Perko

@VladimirSotirov Casi no tengo ninguna duda de que la subcategoría completa generada por el

Fnorte $F^n$ es equivalente a

estera _ _op $\mathsf{Mat}^{\operatorname{op}}$ en ZF (aunque no lo he probado). Entonces, en cierto sentido, mi pregunta posiblemente también se reduzca a '¿Es "la categoría de todos los espacios vectoriales finitos equivalente a la subcategoría completa en

F,F2, … $F, F^2, \dots$ "¿demostrable en ZF ?".

Stefan Perko

@VladimirSotirov Un espacio vectorial es de dimensión finita si tiene una base finita. - El problema en el que estoy pensando es que no he equipado el espacio vectorial con una base finita, simplemente asumo que hay una.

asaf karaguila

Stefan, tal vez lo que me molesta es este problema: hay una clase adecuada de espacios vectoriales de dimensión finita sobre un campo dado; pero solo hay un conjunto numerable de espacios vectoriales que generan todo hasta la equivalencia. ¿Y me parece que este es el problema con el que estás lidiando, tal vez?

Stefan Perko

@Asaf Bueno, el tamaño tiene algo que ver con la fuerza de la declaración si es realmente indemostrable en ZF, pero no debería cambiar el "hecho" de que es necesaria cierta cantidad de opciones. Si se tratara de un conjunto de muchos objetos contables, necesitaría una opción contable y necesitaría "más" opciones si hay más objetos. Eso es lo que supongo.

asaf karaguila

Aunque no veo por qué. Si se trata del conjunto de campos que son exactamente

Fnorte $F^n$ , entonces hay una elección canónica de base para cada uno. Cualquier otro finitamente dimensional

F $F$ -el espacio vectorial es isomorfo a uno de estos. Todavía no he usado la elección. Así que no estoy seguro de dónde entra en juego la elección.

asaf karaguila

(Además, si

V $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita, entonces creo que la equivalencia categórica que está buscando probar será inducida uniformemente por cómo la definió en el "conjunto de generadores" (es decir,

Fnorte $F^n$ 's) independientemente de la elección de la base para

V $V$ . Pero eso es solo una corazonada.)

Stefan Perko

@AsafKaragila No creo que eso me salve de especificar cómo los otros espacios vectoriales son isomorfos al

Fnorte $F^n$ .

asaf karaguila

Sí, pero mi punto es que hasta la conjugación, la elección del isomorfismo no debería importar, y que esta conjugación debería, en teoría, conservar todas las flechas que le interesan.

Stefan Perko

@AsafKaragila No lo sé exactamente. Probablemente necesitaría una respuesta muy precisa a mi pregunta. - Si bien la elección no importa, parece que tienes que hacer una elección independientemente.

asaf karaguila

No, esto es como decir que necesitas el axioma de elección para definir los números reales como clases de equivalencia de sucesiones racionales de Cauchy. El hecho de que la suma se defina eligiendo representantes no significa que dependa de la elección de representantes.

Stefan Perko

@AsafKaragila Desafortunadamente, no estoy convencido de que esto sea lo que está pasando aquí simplemente hablando de eso de manera más o menos superficial. De ahí esta pregunta.

asaf karaguila

Stefan, y no entiendo los términos lo suficiente como para dar una respuesta adecuada. De ahí mis comentarios, sondear ideas y buscar retroalimentación.

Stefan Perko

@Asaf Sí, entiendo. No tengo el conocimiento suficiente para responder la pregunta yo mismo con la ayuda de sus comentarios, es lo que estoy diciendo.

asaf karaguila

De acuerdo, ¡quizás alguien venga y haga el trabajo por nosotros! Esperemos.

usuario2520938

@AsafKaragila Vamos

V $V$ ser algunos

norte $n$ espacio vectorial dimensional, y sea

ϕ : V→Fnorte $\phi:V\to F^n$ sea un isomorfismo. Qué es

S( ϕ ) : norte → norte $S(\phi):n\to n$ , dónde

S $S$ es la equivalencia? ¿Cómo puedes especificar esta imagen sin elección?

asaf karaguila

@user2520938: Supongo que en mi mente estaba pensando en bases ordenadas, en lugar de solo bases desordenadas.

usuario14972

@AsafKaragila: El problema aquí es que si tienes inversas débiles

L : FinVect ↔Esteraop: R $L : \operatorname{FinVect} \leftrightarrow \operatorname{Mat}^\text{op} : R$ , entonces el isomorfismo natural

1 → D L $1 \to RL$ es una elección simultánea de isomorfismo

V→ R ( norte ) $V \to R(n)$ para cada

norte $n$ -dimensional

F $F$ -espacio vectorial. Si además elige una base para cada

R ( n ) $R(n)$ , obtiene una elección simultánea de base para todas las

$F$ -espacios vectoriales.

usuario14972

@AsafKaragila: Hay equivalencias débiles

$R : \operatorname{Mat}^\text{op} \to \operatorname{FinVect}$ , como

$R(n) = F^n$ y así sucesivamente como se sugiere. El problema es cuando buscas completarlo en una fuerte equivalencia. Alternativamente, podría cambiar a anafuntores para ser más indulgente con todos estos problemas de "hasta isomorfismo". Estas categorías deberían ser equivalentes incluso sin un principio de elección.

Respuestas (1)

La equivalencia FinVect(F)≃Matop(F)FinVect(F)≃Matop(F)\mathsf{FinVect}(F) \simeq \mathsf{Mat}^{\operatorname{op}}(F) en ZF

¿Qué es exactamente la categoría Mat? ¿Son las matrices los objetos o las flechas?
@Omnomnomnom Los objetos son todos enteros no negativos. un morfismo $m\to n$ es un $m\times n$ matriz. La composición es la multiplicación de matrices y las identidades son matrices de identidad.
Aquí el enunciado se demuestra usando el axioma de elección (cuidado con el $\mathsf{Mat}$ hay lo contrario de mi $\mathsf{Mat}$ ).
Es cierto que no estoy seguro de dónde entra el axioma de elección en este juego.
Lo siento, una cosa primero: realmente estoy hablando del axioma de elección global ; Me olvidé de la distinción. @AsafKaragila La afirmación de que un funtor completamente fiel y esencialmente sobreyectivo en objetos puede "extenderse" a una equivalencia de categorías necesita (alguna forma de) elección global. Sin embargo, no estoy seguro de si es equivalente en este momento, pero definitivamente no se puede probar en ZF+Classes. - Es posible que deba cambiar mi pregunta para reflejar que estoy usando clases...
En la sección "Equivalencia débil" aquí dice "Un funtor estricto con un inverso débil es necesariamente esencialmente sobreyectivo y completamente fiel; el inverso es equivalente al axioma de elección". Supongo que se entiende por elección global, si se consideran grandes categorías.
¿Cuál es su definición de dimensión finita? Creo que deberías poder demostrar (sin elección) que $\mathsf{FinVec}$ es isomorfo a cualquier subcategoría de $\mathsf{Vec}$ generado por un espacio vectorial (libre) de cada dimensión finita. Además, creo que también sin elección debería poder demostrar que tal subcategoría es isomorfa a $\mathsf{Mat}^{op}$ . Entonces, el problema es construir una subcategoría de este tipo sin usar la opción, pero ¿por qué no simplemente tomar la subcategoría completa generada por los poderes cartesianos? $F^n$ ? creo que solo sirve $\omega$ -recurrencia o algo así, no elección.
(No soy un teórico de conjuntos, por lo que podría estar equivocado en las tres afirmaciones, por supuesto, pero eso es lo que intentaría de todos modos)
@VladimirSotirov Casi no tengo ninguna duda de que la subcategoría completa generada por el $F^n$ es equivalente a $\mathsf{Mat}^{\operatorname{op}}$ en ZF (aunque no lo he probado). Entonces, en cierto sentido, mi pregunta posiblemente también se reduzca a '¿Es "la categoría de todos los espacios vectoriales finitos equivalente a la subcategoría completa en $F, F^2, \dots$ "¿demostrable en ZF ?".
@VladimirSotirov Un espacio vectorial es de dimensión finita si tiene una base finita. - El problema en el que estoy pensando es que no he equipado el espacio vectorial con una base finita, simplemente asumo que hay una.
Stefan, tal vez lo que me molesta es este problema: hay una clase adecuada de espacios vectoriales de dimensión finita sobre un campo dado; pero solo hay un conjunto numerable de espacios vectoriales que generan todo hasta la equivalencia. ¿Y me parece que este es el problema con el que estás lidiando, tal vez?
@Asaf Bueno, el tamaño tiene algo que ver con la fuerza de la declaración si es realmente indemostrable en ZF, pero no debería cambiar el "hecho" de que es necesaria cierta cantidad de opciones. Si se tratara de un conjunto de muchos objetos contables, necesitaría una opción contable y necesitaría "más" opciones si hay más objetos. Eso es lo que supongo.
Aunque no veo por qué. Si se trata del conjunto de campos que son exactamente $F^n$ , entonces hay una elección canónica de base para cada uno. Cualquier otro finitamente dimensional $F$ -el espacio vectorial es isomorfo a uno de estos. Todavía no he usado la elección. Así que no estoy seguro de dónde entra en juego la elección.
(Además, si $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita, entonces creo que la equivalencia categórica que está buscando probar será inducida uniformemente por cómo la definió en el "conjunto de generadores" (es decir, $F^n$ 's) independientemente de la elección de la base para $V$ . Pero eso es solo una corazonada.)
@AsafKaragila No creo que eso me salve de especificar cómo los otros espacios vectoriales son isomorfos al $F^n$ .
Sí, pero mi punto es que hasta la conjugación, la elección del isomorfismo no debería importar, y que esta conjugación debería, en teoría, conservar todas las flechas que le interesan.
@AsafKaragila No lo sé exactamente. Probablemente necesitaría una respuesta muy precisa a mi pregunta. - Si bien la elección no importa, parece que tienes que hacer una elección independientemente.
No, esto es como decir que necesitas el axioma de elección para definir los números reales como clases de equivalencia de sucesiones racionales de Cauchy. El hecho de que la suma se defina eligiendo representantes no significa que dependa de la elección de representantes.
@AsafKaragila Desafortunadamente, no estoy convencido de que esto sea lo que está pasando aquí simplemente hablando de eso de manera más o menos superficial. De ahí esta pregunta.
Stefan, y no entiendo los términos lo suficiente como para dar una respuesta adecuada. De ahí mis comentarios, sondear ideas y buscar retroalimentación.
@Asaf Sí, entiendo. No tengo el conocimiento suficiente para responder la pregunta yo mismo con la ayuda de sus comentarios, es lo que estoy diciendo.
De acuerdo, ¡quizás alguien venga y haga el trabajo por nosotros! Esperemos.
@AsafKaragila Vamos $V$ ser algunos $n$ espacio vectorial dimensional, y sea $\phi:V\to F^n$ sea un isomorfismo. Qué es $S(\phi):n\to n$ , dónde $S$ es la equivalencia? ¿Cómo puedes especificar esta imagen sin elección?
@user2520938: Supongo que en mi mente estaba pensando en bases ordenadas, en lugar de solo bases desordenadas.
@AsafKaragila: El problema aquí es que si tienes inversas débiles $L : \operatorname{FinVect} \leftrightarrow \operatorname{Mat}^\text{op} : R$ , entonces el isomorfismo natural $1 \to RL$ es una elección simultánea de isomorfismo $V \to R(n)$ para cada $n$ -dimensional $F$ -espacio vectorial. Si además elige una base para cada $R(n)$ , obtiene una elección simultánea de base para todas las $F$ -espacios vectoriales.
@AsafKaragila: Hay equivalencias débiles $R : \operatorname{Mat}^\text{op} \to \operatorname{FinVect}$ , como $R(n) = F^n$ y así sucesivamente como se sugiere. El problema es cuando buscas completarlo en una fuerte equivalencia. Alternativamente, podría cambiar a anafuntores para ser más indulgente con todos estos problemas de "hasta isomorfismo". Estas categorías deberían ser equivalentes incluso sin un principio de elección.

jeremy rickard · Answer 1

Suponer $F$ es un campo tal que hay una orden total en el conjunto subyacente de $F$ . Entonces para cualquier $n$ tenemos un orden total lexicográfico en $F^n$ .

Supongamos que tuviéramos una equivalencia $S: \mathsf{FinVect}(F) \to \mathsf{Mat}^{\operatorname{op}}(F)$ .

Dejar $\mathcal{A}$ sea un conjunto de conjuntos de dos elementos.

Para cualquier $A\in\mathcal{A}$ , $F^A$ es un $2$ -espacio vectorial dimensional sobre $F$ , como es $F^2$ , y entonces $S(F^A)=S(F^2)$ . El mapa de identidad $S(F^A)\to S(F^2)$ es $S(\varphi)$ para un isomorfismo único $\varphi:F^A\to F^2$ .

Dejar $\{v_1,v_2\}$ ser la base natural de $F^A$ , entonces hay una biyección natural $A\to\{v_1,v_2\}$ , y elige $v_1$ o $v_2$ dependiendo de si o no $\varphi(v_1)>\varphi(v_2)$ en el orden lexicográfico.

Esto da una función de elección para $\mathcal{A}$ . Pero la elección de conjuntos de dos elementos es independiente de $\text{ZF}$ .

La equivalencia FinVect(F)≃Matop(F)FinVect(F)≃Matop(F)\mathsf{FinVect}(F) \simeq \mathsf{Mat}^{\operatorname{op}}(F) en ZF

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