En una respuesta y comentario a
se sugirió que dado un argumento forzado usando un ctm, uno siempre podría traducir el mismo argumento a un entorno sin ctm. Si este es el caso, entonces, ¿qué se puede hacer con el siguiente argumento de Paul Cohen en su artículo " El descubrimiento del forzamiento " (págs. 1090-91):
Hubo otro resultado negativo, igualmente simple, que pasó desapercibido hasta después de completar mi prueba. Esto dice que uno no puede probar la existencia de ningún modelo estándar incontable en el que AC se cumpla, y CH sea falso (esto no significa que en el universo CH sea verdadero, simplemente que uno no puede probar la existencia de tal modelo incluso concediendo la existencia de modelos estándar, o incluso cualquiera de los axiomas superiores del infinito). La demostración es la siguiente: Si es un modelo estándar incontable en el que se mantiene AC, es fácil ver que contiene todos los ordinales contables. Si se asume el axioma de constructibilidad, esto significa que todos los números reales están en y construible en . Por lo tanto CH se mantiene. Solo vi esto después de que me preguntaron en una conferencia por qué solo trabajaba con modelos contables, con lo cual se me ocurrió la prueba anterior.
La misma prueba se puede usar para mostrar que no se puede probar la existencia de un modelo estándar incontable en el que se cumple AC, y existe un real no construible.
Si uno fuera a usar modelos con valores booleanos o un enfoque de ultrapoder booleano para 'construir' modelos en los que CH era falso o existía un real no construible, ¿significa esto que uno no puede probar que los modelos así construidos (asumiendo que los modelos así construidos eran modelos estándar) son incontables, incluso si la prueba que usa estos dos métodos no menciona la 'contabilidad' de los modelos?
Tenga en cuenta que Cohen está hablando específicamente de modelos estándar . Los obstáculos para usar estos métodos para contradecir las afirmaciones de Cohen no radican en demostrar la incontabilidad de los modelos que construye, sino en asegurarse de que sean estándar .
Tenga en cuenta que los modelos con valores booleanos no pueden ser estándar (o isomorfos a un modelo estándar) a menos que el álgebra booleana subyacente sea el álgebra de dos elementos, y en este caso no tiene mucho sentido considerarlos como una clase separada de modelos.
la ultrapotencia de un modelo (estándar) no estará bien fundada a menos que es -completo. La existencia de tales ultrafiltros requiere la existencia de un cardinal medible, lo que en sí mismo implica , y también es más sospechoso que la existencia de modelos estándar. En cualquier caso, estás trascendiendo .
(El argumento de Cohen es esencialmente que si uno pudiera demostrar la existencia de un modelo estándar tan incontable en , entonces también obtendrías un modelo de este tipo en . Es en esta teoría más fuerte donde surgen los problemas.)
Para agregar a la respuesta de Arthur, el uso de modelos con valores booleanos no es para construir algún objeto de manera significativa. Es una forma de eludir la necesidad de un archivador genérico.
El punto de los modelos con valores booleanos es que uno puede mostrar que heredan las reglas de inferencia de la lógica de primer orden, y que todos los axiomas de tienen un valor booleano de y por lo tanto son "verdaderos" en un muy buen sentido. Por otro lado, las declaraciones cuyo valor no es puede volverse consistentemente falso si uno toma un ultrafiltro genérico que contiene su negación.
Por lo tanto tenemos que tomando álgebra booleana adecuada podemos probar que el enunciado "Hay un real no construible" es consistente con .
Cohen, como señala Arthur, dice que si uno trabaja con modelos estándar entonces al hablar de modelos incontables ya debe incluir todos los ordinales contables y por lo tanto si habrá decidido .
Si queremos probar la consistencia de , entonces no queremos asumir que el universo satisface eso. Y trabajar con modelos incontables es inadecuado para este tipo de resultados.
carl mummert
Tomás Benjamín