Estoy empezando el "Manual de álgebra categórica" de Borceux. Comienza con una breve discusión de los fundamentos lógicos de la teoría de categorías. Él describe dos enfoques: 1. definición de universos y 2. Con la teoría de conjuntos NBG. Estoy interesado en el segundo enfoque, así que quiero estudiar la axiomática de ese sistema. El libro que estoy buscando debe presentar la construcción lógica de la teoría y algunos resultados importantes, como probar que NBG es una extensión de ZFC, algunos resultados sobre la teoría de modelos y una discusión profunda sobre su aplicabilidad a la teoría de categorías, si es posible.
Lamentablemente, no hay muchas fuentes sobre este tema tan importante porque los universos de Grothendieck se han consolidado en gran medida como la "solución" a las colecciones que son demasiado grandes para ser conjuntos. No estoy seguro de por qué es esto.
Dicho esto, hay un libro maravilloso sobre la teoría de conjuntos NBG de Smullyan abd Fitting, Set Theory and the Continuum Problem . Creo que lo encontrará muy útil. Pero tenga cuidado: muchas impresiones de Dover salieron con símbolos faltantes y el resultado fue un desastre. Me quedé atascado con uno. Así que asegúrese de que el libro no esté defectuoso antes de comprarlo.
En cuanto a la relación con la teoría de categorías, no hay libros per se (aunque realmente debería haberlos), pero hay varios libros que sí mencionan el tema. Hay una discusión breve pero informativa en Adamek, et. al.'s The Joy of Cats en línea. También hay una sección buena pero más sofisticada en el libro de texto de lógica matemática de mi antiguo maestro, Elliot Mendelson, donde las sutilezas lógicas se detallan de manera interesante.
También es importante saber que NBG no es la única forma de teoría de conjuntos que se ha propuesto con clases adecuadas para actuar como una base unificada tanto para la teoría de categorías como para la teoría de conjuntos. Por ejemplo, hay una forma modificada de New Foundations de Willard Quine que parece bastante prometedora y tiene axiomas algo diferentes de NBG. piedra de tropiezo en su forma original: es decir, ¡ puede refutar el axioma de elección dentro de cualquier sistema de axiomas consistente!Los matemáticos, principalmente Tom Forster en Cambridge, han creado versiones modificadas de NF, que son equivalentes a ZFC para clases "pequeñas" desde entonces que evitan este problema). Se puede encontrar una buena presentación de la teoría básica en el libro de texto en línea de Holmes, disponible aquí _
Introducción a la lógica matemática de Mendelsontiene un buen desarrollo de los hechos básicos de la teoría de conjuntos en NBG e incluye una discusión de su relación con ZFC (es una extensión conservadora de ZF y, por lo tanto, la teoría de modelos de NBG es esencialmente la misma que la de ZF). En cuanto a una discusión profunda sobre su aplicabilidad a la teoría de categorías, no conozco ninguna. El sistema MK introducido en el apéndice del libro de Kelley sobre topología probablemente esté más cerca de la práctica ordinaria en la teoría de categorías, ya que es común cuantificar sobre todos los elementos de una clase propia en construcciones categóricas. Ambos sistemas le permitirán hablar sobre grandes categorías particulares, por ejemplo, espacios o grupos topológicos, y sobre funtores particulares entre ellos, por ejemplo, el funtor de grupo fundamental. Ninguno de los dos sistemas le permite hablar muy satisfactoriamente sobre grandes categorías en general.
Dos referencias que enumeran los axiomas de NBG son
(1) Capítulo uno de la monografía de Gödel de 1940 titulada "La consistencia del axioma de elección y la hipótesis del continuo generalizado a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos"
(2) Capítulo II artículo 7 en Fundamentos de la teoría de conjuntos de Fraenkel, Bar-Hillel y Levy.
Observación: NBG es una extensión conservadora de ZF. Consulte las páginas 131-32 en la referencia (2) anterior para obtener un boceto de prueba. Aunque NBG es finitamente axiomatizable, esto no es una ventaja real. Godel usó este sistema en (1) solo para tener una definición más económica del universo construible.
También hay un sistema llamado Morse-Kelley (más fuerte que ZF) sobre el cual puede leer en el apéndice de la topología general de Kelley y también en Wikipedia.
Andrés E. Caicedo
Matemago1234
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